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» Il est important de remarquer qu'il n'est pas toujours indispensable 

 que le degré de cette équation soit précisément égal à n\ il arrivera souvent, 

 au contraire, qu'il sera préférable que l'équalion dont il s'agit se présente 

 sous la forme 



k étant un nombre entier. 



n 2° 11 est nécessaire d'introduire dans la fonction '^{j) nn nombre 

 n — I d'indéterminées (y compris x) dont on pourra disposer librement 

 pins tard, afin de pouvoir considérer les « — i variables a, /3, y, . . ., X comme 

 indépendantes. 



» En admettant que ces conditions soient remplies, poursuivons notre 

 raisonnement. 



» Puisque la fonction <I> {j) est rationnelle, il est évident que l'expres- 

 sion 2'^[y)d)- sera une fonction symétrique des racines de l'équation (3), 

 déterminable, par conséquent, au moyen des coefficients de cette équation, 

 lesquels, comme nous l'avons déjà dit, sont fonctions de x et des indéter- 

 minées introduites dans la fonction ( f); donc Jo- 2$ (^')r/^' = V se ré- 

 duira toujours à une quadrature en x déterminable, soit algébriquement, 

 soit par logarithmes ou par arcs de cercle. 



)) Si nous considérons les coefficients de l'équation (3), nous |)ourron5 

 poser 



(5) P = -Za, Q = 2a/3, R=-2«/37.... 



» En éliminant entre ces n équations les n — i indéterminées (y com- 

 pris x) que doivent contenir les coefficients P, Q, R,..., on obtiendra 

 entre toutes les variables a, /3, y,. .., X, p. la relation algébrique satisfaisant 

 à l'équation différentielle proposée. 



» Il ne restera plus, pour compléter notre solution, qu'à remplacer, dans 

 la fonction V déterminée précédemment, x et les autres indéterminées 

 qu'elle peut contenir, par leurs valeurs en a, /3, y, . . . données par la com- 

 binaison des équations (5) ci-dessus. 



n Ces dernières opérations seront souvent simplifiées en combinant les 

 équations (5) avec celles que l'on formera en attribuant successivement kj, 

 dans l'équation primitive (2), les ti — i valeurs arbitraires a, ^, y,.. ., ).; on 

 formera ainsi un deuxième système d'équations dans lesquelles les quantités 

 à éliminer ne seront jamais qu'au premier degré. 



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