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plusieurs séries de nombres élevés au cube : nombres consécutifs, nombres 

 pairs ou nombres impairs; |)uis la sommation des quatrièmes puissances des 

 nombres consécutifs, et quelques sommations de produits des nombres 

 inulti|)liés deux à deux, ou trois à trois. Dans quelques ouvrages, l'auteur ou 

 le commentateur arabe énonce simplement les règles, soit en prenant un 

 exemple numérique, c'est-à-dire une série de nombres qui s'arréle à un 

 nombre déterminé, soit d'vuie manière générale, quel que soit le terme 

 final de la série, non indiqué numériquement. Alors la règle se traduit 

 immédiatement en une formule moderne. Ailleurs, l'auteur ou le commen- 

 tateur démontre les régies par des raisonnements empruntés parfois à la 

 Géométrie. 



Voici l'analyse de ces divers ouvrages. 



Dans la première pièce se trouvent les énoncés suivants, que nous repro- 

 duisons textuellement, pour faire connaître la forme donnée par les Arabes 

 à ces propositions : 



I. La sommnlion des nombres, snivanl l'ordre, consiste à nmlliplier la moitié 

 du nombre jnsqu auquel [In suite) s'étend, par ce nombre plus l'unité. C'est la 

 formule 



., n(n + i) 



1 



L'auteur l'applique aux cas de n = lo, « = i8. 



II. Pour la somme des carrés des nombres naturels : L'élévation au carré 



se fait par la multiplication de ^ du nombre jusqu auquel la suite s'étend, plus 

 un tiers de l'unité, par la somme [des nombres simples). C'est la formule 



K -i- 2^ 4-0- +...+ /r = — = — i -■ 



L'auteur l'applique k n = lo. 



III. L'élévation au cube [se fait) pat l'élévation au carré de la somme [des 

 nombres simples). Cest la formule 



L'auteur applique la règle à ii = lo, et trouve 3o25 (*). 



(*) Cette règle de la somme des cubes et celle de la somme des carres se trouvent dniis 

 les ouvrages hindous; dans le Lilav.iti de Bliascara, et dans raritlimétiquc de Bralinirgiipia. 

 Voir Coi.kbboore; Jlgcbra with Arithmctic and mensuration, etc. , p. 5'i, 2y i et 2(|(. 



