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Dans la Iroisième pièce se trouvent les mêmes formules, mais dans im 

 ordre un peu différent, comme l'indique cette énumération : I, II, III, VII, 

 VIII, IX, IV, V, VI. 



A la suite de celte dernière règle VI se trouve la même question que dans 

 le premier commentaire. 



La quatrième pièce présente les questions dans l'ordre II, III, IV, V, VI, 

 VII, VIII, IX. 



X. Dans la cinquième pièce, qui est un extrait du Fakhri (*), se trouve 

 l'expression de la somme des produits des nombres naturels, multipliés 

 deux à deux, appliquée à l'exemple suivant : 



.2 + 2.3 + 3.4-f-...-4-g.io = (i + 2 + 3+...+ io)f|io — Ij 



I 



= 55.(1 io-3J = 33o. 

 La formule générale est donc 



, . 2 H- 2 . 3 -H 3 . 4 4- . . . + ( « - I ) « = -^-^ X ( 3'2 - 3 ) = 3 " ( " - ' ) ( " -t- ' ) 



= ^n{n'^ — 0. 



La somme des cubes des nombres successifs 



est démontrée de deux manières, que l'auteur intitule : démonstration mi- 

 inérique, démonstration au moyen de la figure. 



Dans le cours de sa démonstration se trouve la règle exprimée par la 

 formule 



(n -l- i)' == 2(1 -4- 2 + 3 +... + «) X (n + i) + (« 4- i)*; 

 ce qui résulte de ce que 



( I + a + 3 + . . . + «) = -^ ' ; 



(*) Le Fakhri est un Traité d'algèbre composé au commencement du xi^ siècle, par 

 Alkarkhi, et beaucoup plus étendu que l'algèbre de Mohammed ben Musa. On y remarque 

 surtout un grand nombre de questions sur l'Analyse indéterminée. 



M. Woepcke a publié un Extrait considérable de cet ouvrage, en un vol. in-8°. Paris, 

 Imprimerie impériale; i853. 



