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 d'où 



(n+ i)'= n{n -^ \Y -h (n + i'f = {n +• i) [n + i)- = {n + i)\ 



XI. Enfin, nous signalerons une formule qui exprime la somme des pro- 

 duitsdes nombres impairs multipliés deux à deux, plus la somme des nom- 

 bres pairs multipliés aussi deux à deux : 



i.3 + 3.5-i-5.7-f-...+ (2/< — 3)(2« — i) + 2.4 + 4-<J+---+(2«— 2)2» 





=(i -hi-h3 + ... + 2n]\ ^(2« — 1]— I |4-i = — ^— — ^|-(2ra— I)— r | -f- i. 



Le second opuscule est emprunté de deux manuscrits de la Biblio- 

 thèque du British Muséum. Il contient deux pièces : 



i" Extrait d'un commentaire du Talkhis, composé en l'an 837 de l'hé- 

 gire, i/i3r deJ.-C, par Ibii Almafijdi, auteur de plusieurs ouvrages con- 

 cernant l'astronomie (mort en l'an 1477). 



1° Extrait d'un Traité d'Arithmétique intitulé : La Clef du calcul, composé 

 par Gliiyath Alquachani, astronome contemporain d'Ouloug-Beg. 



Le commentaire du Talkhis renferme les formules!, III, IV, V, VI, VII, 

 VIII, IX. L'auteur les démontre par des raisonnements généraux. Quel- 

 quefois il désigne par les lettres A, B, G les nombres sur lesquels il raisonne. 



L'auteur du second opuscule, la Clef du calcul, Ghiyath Alquachani, 

 dans une Préface adressée au célèbre sultan de Samarkand, Oidoug- 

 Beg, éiuimére les nombreux écrits qu'il a composés, principalement siu' 

 l'Arithmétique, la Géométrie et l'Asironomie. 



« J'ai découvert, dit-il, des règles et des théorèmes nombreux coiicer- 

 )i nanl ces sciences, et j'ai obtenu la solution de problèmes qui avaient paru 

 » tellement ardus à beaucoup d'autres savants, qu'ils avaient 1 énoncé à s'en 

 » occuper. 



)' ... J'ai aussi inventé l'instrument appelé le f//;>(j[i/e f/t* rones, et j'ai écrit, 

 M sur la manière de le construire et d'en connaître l'usage, un Mémoire 

 X intitulé: Les Délices des jardins. C'est un instrument qui sert à déterminer 

 1) les longitudes vraies des planètes, leurs latitudes, leurs distances de la 

 » terre, leurs rétrogradations, les occultations et les éclipses, et tout ce qui 

 » s'y rattache. » 



L'extrait que donne M. Woepcke de cet ouvrage est très-restreiut, mais 

 présente beaucoup d'intérêt, parce qu'on y trouve notamment deux nf)u- 

 velles sommations de nombres : 



