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XII. Premièrement, la somme des produits des iiombies consécutifs 

 multipliés trois à trois, que l'auteur exprime en ces termes : Nous désirons 

 la somme des rësitllats des produits pour chacun des nombres jusqu'à 6, par le 

 suivant, puis le résultat par le suivant. Nous additionnons depuis l'unité juscpi à 5. 

 Ce sera i5. Nous multiplions cela par \l\. Il résulte 210, ce qui est ta quanlilc 

 cherchée. 



Ainsi 



i.2.3-4-2.3.4-t-3.4.5 + 4.5.6 = (i+2 + 3 + 4 + 5)(i + 2 + 3 + 4 + 5-i) 



= i5.i4. 



La formule générale est donc 



1 .-2.3 + 2.3. 4 + ... + (« — 2) (/j — i)« 



/ \ir / ■, 1 "[" — 1) r«(« — l) 



= [1 + 2 +... + («- i)][i + 2 + ...-4-(7i-r)-i] = -^— '"l- ^ '-I 



(n — 2) (« — l).re.{« + I ) 



- 4 



XIII. La seconde règle importante est celle de la somme des quatrièmes 

 puissances des nombres consécutifs. L'auteur l'exprime ainsi : 



Si nous désirons la somme des carrés-carrés des nombres suivant t'oidre, 

 à partir de C unité, nous relmnchons de la somme de ces nombres une unité, et 

 nous prenons constamment un cinquième du reste. Nous l'ajoutons à la somme 

 desdils nombres, et nous multiplions ce qui en piovient par la somme des carrés 

 des mêmes nombres. Il résultera la quantité cherchée. 



Exemple. Somme des carrés-carrés des nombres depuis l'unité jusqu'à 6 : 



i^-t-2' + 3* + 5' + 6V 

 On fait 



1 + 2+3 + 4-1-5-4-6 = 21, 21 — 1=20, -— = 4, 21 + 4 = 25. 



On prend la somme des carrés des nombres; c'est 91. Le produit de aS 

 par 91 est 2275. C'est la somme cherchée. 



La formule générale est doue 



3' + ... + «'=( I + 2 + 3 



-=[. 



2' + :i^ + . . . + ;r = I + 2 + .3+.. . + « 



(i + 2 + . . . + «) — I 



, ., „ o- 1 r"("-t-i) I /«(« + i) \"] rt(/? + i)(2« + r; 

 X(,- + .- + 3- + ... + ,rj = [-^^ + 5(^A^-^-.)J^i^ 



3 /? ( « + I ) — I 



3o 



fi[n-h I ) ( 2 « + I ). 



