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« Quant à J et L, il y a une autre méthode très-nette qui suffit pour les 

 définir. 



» Si ou suppose la fonction donnée mise sous la forme 



{ax + bjY -h- [Cjc -h (ïj-y-h(ea: -hfj-)^, 



et si on écrit 



[ad-bcy = A, {cJ-de)' = B, {eb -Ja)' = C, 



on aura 



J = A^-t-B=' + C=-2AB-aAC - aBC, 

 L= A^B=C^ 



Avec J et L on forme un nouvel invariant que j'ai nommé A, tel que 

 A = 2"L— J^ 



)) Alors, quand D est positif, on sait que les conditions nécessaires et 

 suffisantes pour que toutes les racines soient réelles, sont que J et A -t-|:jiJD 

 soient tous les deux négatifs, fx étant ime quantité numérique choisie à vo- 

 lonté, pourvu qu'elle ne sorte pas de l'intervalle compris entre les deux 

 limites i et — 2. 



» On voit donc (chose jusqu'ici inouïe dans les recherches de cette 

 nature) que l'un des trois crileria est variable entre des limites fixes. 



>) Mais on se forme une idée beaucoup trop restreinte de la nature de 

 celte indétermination en sebornant aux invariants (tels que A) du douzième 

 degré par rapport aux coefficients de la fonction donnée pour servir ainsi 

 comme troisième critérium. 



» Au lieu de A 4- fJi.JD, on peut substituer luie fonction rationnelle et 



entière quelconque de J, K, L, K étant la quantité A'BC + AB-C + ABC^ 



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 homogène par rapport à J, K-*, L^, à savoir F (J, R,I.), pourvu que certaines 

 conditions soient satisfaites que je vais donner. Écrivons 



J = 5^-46, K=: 0-4-26, L = eS 



alors F devient une fonction de ô, et les conditions nécessaires et suffisantes 

 pour que F (pris avec le signe convenable) soit un bon troisième critérium 

 (comme rem|)laçant de A) sont les suivantes, qu'en écartant toutes les 

 racines de F, qui se répètent un nombre pair de fois, une des restantes 

 est égale à — I\, mais nulle autre ne sort des limites o et 12. 



» Ainsi, par exemple, on peut se servir (comme critérium) d'un inva- 



