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» Corollaire. — Soit G un groupe de substiUilions quelconque entre les 

 racines : on peut former une fonction W de ces racines, dont la valeur 

 numérique soit invariable par les substitutions de G, et varie par toute 

 autie substitution. 



» Théorème I. — Il existera toujours entreles racines .r,,..., x,,, un groupe 

 de substitutions tel : 



» i" Que toute fonction des racines dont les substitutions de ce groupe 

 n'altèrent pas la valeur numérique puisse s'exprimer rationnellement en 

 fonction des coefficients de F(a^) et des quantités adjointes; 



» 2° Et réciproquement, que toute fonction des racines, exprimable 

 rationnellement au moyen des coefficients de F(.r) et des quantités adjointes, 

 n'ait sa valeur numérique altérée par aucune des substitutions de ce 



grou 



& 



pe. 



» Ce groupe G peut être appelé le groupe de l'équation relatif aux quan- 

 tités adjointes données. L'adjonction de quantités nouvelles à l'équation, 

 pouvant rendre rationnellement exprimables des quantités qui ne l'étaient 

 pas primitivement, pourra réduire le groupe de l'équation à un nouveau 

 groupe H, ne contenant qu'une partie des substitutions de G. 



j. Théorème II. — Soit ip, une fonction quelconque de jt,,..., x,„ : 



>) 1° Celles des substitutions de G qui n'altèrent pas cp, forment un 

 groupe H; 2° l'adjonction de la quantité tp, réduira le groupe de l'équa- 

 tion à H. 



)) Corollaire. — Deux fonctions invariables par les mêmes substitutions 

 de G s'expriment rationnellement l'une par l'autre. 



» Théorème III. — Si le groupe G de l'équation F(jf) = o relatif à des 

 quantités adjointes quelconques peut être abaissé par l'adjonction d'une 

 nouvelle quantité r, racine d'une équation algébrique, soit H le groupe 

 réduit, i,a, a,,..., ses substitutions; les substitutions de G sont toutes com- 

 prises dans le tableau : 



b,c,..., étant des substitutions convenablement choisies. 



u Soit V le nombre des lignes horizontales de ce tableau : le degré de 

 l'équation irréductible (|<(z) = o dont dépend /■ sera nécessairement un 

 nuilliple de v : soit |u,v ce degré. Parmi les [xv racines de cette équation, il 

 en existera fi dont l'adjonction à la proposée réduit son groupe au suivant 



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