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 I ,fl,rt,,...,|x,dontra<ljonction le réduirait au suivanl i,b~* ab, b"* n,i,...,pL, 

 dont l'adjonction le réduirait au suivant i, c~* ac, c~*a,c, . . ., etc. (Les 

 divers groupes i, h~'ab, b~* a,b, . . ., etc., i, c~'ac, t~'a,c, ..., etc., 

 sont ce qu'on appelle les groupes transformés de i, a,rt, par les substitu- 

 tions b, c, . . ..) 



» Théorème IV. — Si l'équation i{/ (z) ^ o est telle que toutes ses racines 

 soient des fonctions rationnelles de lune d'elles 7', les divers groupes 



i,a,a,, 1, b~' ab, b~* a,b, . . . , i , f~' «c, c~'(7,c, . . . 



seront tous formés des mêmes substitutions. Ce groupe unique H sera trans- 

 formé en lui-même par toutes les substitutions de G. 



» Théorème V. — Si l'on peut abaisser le groupe de G de l'équa- 

 tion F(x) = o par l'adjonction siinullanée des racines d'une équation 

 irréductible i];(z) = o, le groupe réduit II devra être transformé en lui- 

 même par toutes les substitutions de G. 



» Théorème VI. — Si le groupe G d'une équation F(j:') = o est te!, 

 qu'on puisse déterminer im groupe H contenu dans G, et que toutes les 

 substitutions de G transforment en lui-même, soit N le nombre des sub- 

 stitutions de H, M = Nv celui des substitutions de G : on pourra réduire 

 le groupe de l'équation aux substitutions H par la résolution d'une équa- 

 tion de degré v, dont le groupe contient seulement v substitutions. 



» Théorème VII. — Au contraire, si le groupe G est tel, qu'il ne con- 

 tienne aucun autre groupe II jouissant de la propriété précédente, il sera 

 impossible de ramener la résolution de l'équation proposée à celle d'autres 

 équations dont le groupe contienne un moindre nombre de substitutions. 



» On peut appeler cqualions siutjiles celles qui font l'objet de ce dernier 

 théorème, équations composées les autres. 



» Théorème VIII. — Soient F (j:) = o et y (z) = o deux équations irré- 

 ductibles dont les racines soient liées par des relations algébriques quel- 

 conques, telles que ip(j:,,..., o-^, z,,..., z,„) = o : toutes ces relations se dé- 

 duisent d'une seide de la forme ij; (j?,, . . . . , jr,„) = ;((z,, . . . , z„), où les 

 racines des équations sont séparées (i]^, y désignant, ainsi que ^, des fonc- 

 tions rationnelles convenablement choisies). 



» Théorème IX. — Soient F (x) ^ o et f[z) = o deux équations dont 

 les groupes G et G' contiennent respectivement M et M' substitutions : si la 

 résoliUion de l'équation /(z) = o réduit le groupe deF(.r) =: o à un autre 



groupe II ne contenant que — substitutions, réciproquement la résolution 



