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 de l'équation F{x) = o réduira le groupe de f{z) = o à un groupe H' ne 



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contenant que — substitutions. De plus, les deux équations sont composées 



avec une même équation auxiliaire F {u) = o de degré v, et dont le groupe 

 contient v substitutions. 



» Deux équations sont dites équivalentes si la résolution de l'une entraine 

 celle de l'autre, et réciproquement. 



» Corollaire. — Deux équations équivalentes ont dans leurs groupes le 

 même nombre de substitutions. Et toute adjonction de quantité auxiliaire 

 qui abaisse le groupe de l'une de ces deux équations en le divisant par v 

 abaisse de même le gi-oupe de l'autre. 



» Théorème X. — Soit F(.ï) = o une équation irréductible, x,, ... , x„, 

 ses racines : pour qu'une équation /' {z) = o soit équivalente à F(x) ^ o, 

 il faut et il sufBt : 



» 1° Que chacune des racines dey"(z) = o, z, par exemple, soit une 

 fonction rationnelle de jc,, . . . , ,r,„, telle que f (jr,, . . ., J:,„) ; 



» 2° Que le groupe H, formé par celles des substitutions de G qui n'al- 

 tèrent pas f (x,, . . . , x,„), ne renferme aucun groupe I que toutes les sub- 

 stitutions de G transforment en lui-même. 



)' Il existe un nombre infini d'équations équivalentes à une équation 

 donnée F[jc) = o; mais elles se distribuent en un nombre limité de classes, 

 si l'on réunit dans une même classe deux équations : 



/(z) = (z — z, )(z — Zé)(z — zJ,.. = o 



et 



/'(z) = (z- z^)(z — z^){z — zj... = o, 



dont les racines correspondantes z, et z, , Zj et z'^ , etc., sont des fonctions 



rationnelles l'une de l'autre. 



» Voici quelques autres théorèmes plus particuliers. 



)< Théorème. — Le groupe de l'équation la plus générale du degré m con- 

 tient I, i,...,m substitutions: on peut, en résolvant une équation du second 



degré, réduire le nombre de ses substitutions à — — ' ' ' ' ' — -, mais il n'est 



susceptible d'aucune réduction ultérieure (sauf le cas où m = 4)- 



» Corollaire. — L'équation générale du degré m ne peut être résolue au 

 moyen d'équations auxiliaires de degrés inférieurs (sauf l'équation du qua- 

 trième degré, qui se ramène au second et au troisième degré). 



