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s'écrire 



^ sinQDT, si nQDT, _ sinQDT^ _ 

 2^ binPDT, ' sTn PDT, ' " sin PDl,, ~ 



P 

 » La (« — p)"^"'" polaire d'un plan est une surface de p'^""' classe. 



» La {n — i)'^""" polaire d'nn plan esl un poinl que je uomme point po- 

 laire (lu plan. 



« Le point polaire d'un plan est le centre harmonique par rapport à ce 

 1) plan des points de contact des plans tangents issus d'une droite quel- 

 » conque située dans le plan considéré ; le centre harmonique des points de 

 i> contact reste donc invariable lorsque la droite choisie se déplace dans le 

 » plan en question. 



» Si l'on considère trois plans P, , Po, P3, et que /?,, p^, p^ soient les 

 » droites d'intersection respectivement opposées aux faces P,, Po, P3 ; si 

 » T'j, T",,..., T"} sont les points de contact des plans tangents menés par 

 » l'arête yy; T'2, T',,.--, T^\ ceux des plans tangents menés par l'arête /j^; et 

 » enfin T'3, T'g,..., T'j ceux des plans menés par l'arête p, , on a la relation 



si n r ,/;iP>.sinT>,P^. ■ .sinT,/^iP;X s\n'l\p,V, . . . sinT^p.'P.X.smt^p^V, . . . sinT^p^V, _ 

 sh^,p,P,.sinTf[p,P, . ..sinTip, P.,X sinT'5/jjP, . ..sinV^p^P, X smï',/;,P, . . .sinT>,P,"~ ' ' 



)) Lorsqu'une surface de n'^"'" classe possède un plan multiple d'ordre/?, 

 n ce plan touche la surface suivant une courbe fp de p'^""^ classe et la coupe 

 » suivant une courbe F de la classe [n [n — i) — P (f + 0] • 



M Dans ce plan multiple, il y a p[n [n — 1) — p[p + i)j droites qui 

 )) touchent la surface en deux points. 



» Il y a p [p + i) tangentes inflexionnelles qui sont les intersections du 

 » plan tangent multiple avec sa (n ~ p — ^y^""^ polaire; la {11 — p)'^"" po- 

 » laire de ce plan est la courbe de contact cpp. 



■» La courbe F est tangente à la courbe cpp aux points où cette dernière est 

 » touchée par les tangentes inflexionnelles; \esp[p-h 1) tangentes inflexion- 

 » nelles sont comprises dans le nombre précédent des tangentes doubles et 

 '■ correspondent au cas où les deux points de contact viennent se réunir 

 » en un seul. 



» Les points d'intersection de la courbe F avec la courbe œ^ sont des 

 » points doubles de rebroussement conique pour la surface, l'axe de rebrous- 

 » sèment est la tangente à la courbe F en ces points. 



)) Dans le cas général, la présence d'un plan tangent multiple d'ordre p 

 » dinùnue l'ordre de la surface de p (p — 1)^ unités. 



» Lorsqu'une surface possède un plan tangent multiple d'ordre p, ce 



