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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. — Xomhre des solutions dans les questions élémen- 

 taires relatives aux surfaces du second deqré. Note de M. Housel, présentée 

 par M. Bertrand. 



(Commissaires, MM. Poncolet, Chasies, Bertrand.) 



« I. Les questions où l'on assujettit une surface du second degré à passer 

 par certains points et à toucher certains plans ont été appelées élémentaires 

 par M. Chasies, dont les travaux ont fait voir cju'il ne manquait, pour ré- 

 soudre ces questions, ainsi que beaucoup d'autres, que de savoir d'avance 

 le nombre des solutions. 



» II. Nous commencerons par démontrer le lemme suivant : Dans la con- 

 dition de contact entre un plan et une surface du second ordre, les coefficients de 

 l'équation de cette surface ne dépassent pas le troisième degré. 



» Soient x,y, z les coefficients d'un point de la surface représentée par 



l A^? + Afl -h A" z~ -h 2^ y , z, -h 2B' a.\ z, -h iB" jc,y, 

 ^'^ i +2Ca:, + 2C'j, + 2C"r, +E = o 



et 



(2] ax, -+- bj-f -h cz, -\- d ^= o 



l'équation du plan tangent en ce point : on sait que ce plan sera encore 

 représenté par 



l .r,(Aa^-f-B'z-HB"j>-H-C) + j,(A'>--f-Bz-f-B"x-4-C'; 

 C^) j +z.,(A"z + Bj+ B'x+C") +C.r + C'j- + C"z-hE=:o. 



)) Pour identifier (2) et (3), nous poserons les relations 



a _ Ax+B'z+B"j4-C b _ A'rH-Bz+B"j+C' c _ A"z+B> +B'.r4-C'' 

 i^' 7i "" Cx+C) -l-C"z-t-E' d~ Cx+C'r+C"z+E' d~ Cr-+-C'rH-C"z + E ' 



qui donneront 



MNP 

 *=R' ^-^R' ^=R- 



Or la première des relations (4) peut se mettre sous la forme 



X 'aC - dk) +j{nC' - dW) -^ z{aC' - r/B') + aE - r/C = o, 



c'est-à-dire que les coefficients de l'équation (1) ne figurent qu'au premier 



