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GÉOiMÉTRlE. — Problème du cercle tangent à (rois cercles donnés, et de la sphère 

 tnnc/ente à quatre sphères données. Note de 31. E. Barbier, présentée par 

 M. Bertrand. 



(Commissaires, MM. Le Verrier, Bertrand, Serret.) 



« Nous énoncerons le théorème de Géométrie plane et le théorème ana- 

 logue de Géométiie dans l'espace, pour faire mieux saisir l'analogie des 

 constructions que nous avons trouvées pour ces deux célèbres problèmes. 



» T. Si un triangle T est honiothétique aux trois triangles T, , T, et Tj , 

 qui ont chacun avec T un sommet comuuni : 



» 1° La circonférence O, circonscrite au triangle ï, touche les circon- 

 férences 0| , Oo et O3 , circonscrites aux trois autres triangles. 



» 1" Les points de contact sont les sommets des triangles T, , TjetTj, 

 qui appartiennent aussi au triangle T. 



» 3" Les côtés du triangle T passent par les centres de similitude situés 

 en ligne droite, soit des triangles T, , To et T3 , soit des cercles O, , O, et O3 

 pris deux à deux : nous appellerons ces centres de similitude P, , Po et P3. 



» 4" ^'6s côtés du triangle T, passent j>ar les points Q, , Pj et P, , situés en 

 ligne droite; le jjoint Q, s'obtient en menant parle centre de O, une pa- 

 rallèle à la ligne des centres des deux autres cercles donnés. 



» IL Si un tétraèdre Test homothétique aux quatre tétraèdres T, , Tj, 

 T3 etT, qui ont chacun avec T un sommet commun : 



» i" La sphère O circonscrite au triangle T touche les sphères O, , C),, 

 (^3 et Oi , circonscrites aux quatre autres tétraèdres. 



'• 2" Les points de contact sont les sommets des tétraèdres T, , T» , 

 T, et T4 qui appartiennent aussi au tétraèdre T. 



» 3° Les faces du tétraèdre T passent par les axes de similitude situés 

 dans un même plan, soit des tétraèdres T, , To, T3 et T^, soit des sphères 

 O, jOj, O3 et Oj prises troisà ti'ois : nous appellerons ces axes de similitude 

 P,,P,,P3etP,. 



» 4° I>es faces du tétraèdre T, passent par les droites Q, , V,, P3 et P^, 

 situées dans un même plan; la droite Q, s'obtient eii menant parle centre 

 de O, un |)lan parallèle au plan des centres des trois aulres sphères. 



)i m. Des j)roj)Ohiiions énoncées plus haut (1), il résulte que le problème 

 de mener un cercle tangent à trois cercles donnés revient à inscrire, dans 

 un cercle O, , un triangle T, , dont les cùîés passent par les trois points 

 Q, , P, et Fa situés on ligne droite. 



