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» X. SiinjilifiCdtion. — On peut d'une manière analogue appliquer la 

 construction (8) à la détermination d'un des points de contact de la sphère 

 tangente aux quatre sphères O, , O^, O3 et O, , en la modifiant de manière 

 à n avoir pas à conslruire la droite Q,. Au lieu d'un peiitaèdre inscrit 

 dans O, , on construira un penlaèdre dont trois sommets seront sur O, , 

 un sur Oo, un sur O3 et un sur 0^ , les faces passant par les droites P, , P,,, 

 P3,P, etR,. 



» Remarque. — Après avoir mené un premier plan passant par la droite P, , 

 il faudrait, dans la section faite dans les trois sphères qui ont P, pour axe 

 de similitude, trouver le système de quatre triangles homothétiques t, t, , 

 ^2 et ^3 dont les trois derniers soient inscrits dans les trois sections circu- 

 laires et dont le premier ait un sommet commun avec chacun des autres. 



)) On évite cette construction en prenant pour premier plan un plan tan- 

 gent commun à trois des sphères données, chacun des points étant consi- 

 déré comme un tiiangle nul homothétique au triangle déterminé par les 

 trois points de contact de ce premier plan. 



» XI. Construction donnant à ta fois les trois points de contact d'un cercle 

 tangent à trois cercles donnes O, , Oo et O3 . 



» Il suffit de poursuivre la construction qui nous a donné le qua- 

 drilatère inscriptible o, 6^ (^ f/, , et l'on obtiendra Vliexagramme inscripti- 

 blea, 6a C3 d, e, /i . La construction se poursuivant retombera sur la même 

 suite de points. 



» Si l'on fait varier la position de l'original a, de l'hexagramme, on aura 

 un nouvel hexagramme inscriptible; les cercles circonscrits à tous les hexa- 

 grammes ainsi obtenus ont pour corde commune l'axe de similitude P, Pj Pj ; 

 deux cercles tangents aux trois cercles donnés font partie de cette suite de 

 cercles ayant une corde commune. 



» On peut remarquer le théorème suivant : 



» Deux cercles ont pour corde commune la droite D; si les côtés d'un qua- 

 drilatère inscrit dans l'un d'eux coupent cette droite aux quatre points P,, P^ , 

 P3 et P4 , une infinité de quadrilatères inscrits dans l'autre cercle seront 

 tels, que leurs côtés coupent la corde commune dans les quatre mêmes 

 points. 



» Ce théorème m'a permis de démontrer facilement le théorème énoncé 

 plus haut (VI). 



M Cette nMuarquable construction des points de contact d'un cercle 

 tangent à trois cercles dormes, par le moyen de l'hexagramme, avait été 

 trouvée graphiquement par M. Dunesme. Je suis heureux de rappeler le 



