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 foriiiafioiis qu'ont pu subir celles qui restent. Ici, cependant, une remarque 

 est à faire: la forme — r-;^ tles termes indique nue aire |)arabolique, 



et, selon les notations accouinmées (*i, équivaut à f"'~* xff.Ti'"~' , et la série 

 peut d(n'enir 



.r — j-jcdx- + J^'jdx^ — . . . . 



qu on peut encore écrit o 



J ~~ J^Jffx' + f*jdx* — . . . , 



en faisant ; = j:, égalité qu'on peut supposer provenir d'une singularité 

 du cercle. Et, en effet, le cercle offre ceci de particulier, que la longueur 

 de l'arc est en rapport constant avec l'angle que tout entre elles les nor- 

 males à ses extrémités. Dans toute autre courbe celte constance n'a pas 

 lieu, les deux grandeurs sont fonctions l'une de l'autre, et ce qui s'indique 

 ici par j' et x devient pour le cercle jc et .r ou ax. 



M Or, effectivement, en nommant r la longueur d'un arc quelconque 

 plan et .r celle de l'arc de cercle qui mesure l'angle des normales extrêmes, 

 cette deriiière série donne la valeur du sinus [cpi'on peut nommer 



sin(j, x)], 

 et je dis que cette fonction curvifale 



sin(/, x) — r — f^jdx^ -h f\} rfcc* — J^jdx^ 4- 



11 Pour démontrer ce théorème général il est nécessaire de discuter 

 quelques lennnes. 



» Si l'on nomme s ce sinus et z la partie interceptée sur la normale (le 

 sinus verse dans le cercle), et s' et z' deux lignes semblablement menées par 

 rapport à l'autre extrémité, celles-ci peuvent être prises comme coordonnées 

 le la courbe }•; elles ont pour valeur 



s' = JcosxcIy, z' = Js'mxdj- 



{*) Ceci sous toutes réserves et en ne considérant l'expression 



fydx ou f(f"'-'jdx'"-')dx 



que comme la valeur de l'aire produite par un mouvement selon des coordonnées varia- 



dy 

 blés y ou f"-' y dx"-' et :r; et le rapport ~— que comme celui de l'ordonnée et de la sous- 

 tangente. 



