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 (on laisse ici à sii)(a:, x) du cercle la notation ordinaire sin.r}. Ces 

 quatre lignes, qui dans le cercle s'égalisent deux à deux, se mesurent réci- 

 proquement sur la somme ou la différence des projections des unes sur les 

 antres, et l'on a 



s = s'cosx-+- z'sinx, s' = fcosx dy- = s cosx + zsïujc, 

 (i) z = /sin JT + z'cosx, z' = /sin j:r/r = ^sinx — zcosa;; 



alors la tangente trigonometrique ^ = ^^ devient 



rfsinf r, x) . cosjtc/z 

 ùn{y, jr)cosx + sinx -j- H isin.r ^^^ 



, . rfsin(r, x) iinxc/z 

 — sin(/, a:)sinx + cos.r ^ -' -f- ïcosx h — — 



d'où 



sin(7, a:)(cosjc)- +sinxcos..r j^ — - ■+- zsinxcosx — ■ -j^ — 



— — sin(j,a-)(smx)' +snixcosj: ^ — - + zsuixcosx H ^^ — - 



ou 



sm(j,.r) = g, 



ou (les valeurs initiales de ces variables étant nulles, il n'y a pas de con- 

 stantes arbitraires aux intégrales) 



(2) z=J^m{j,3c)dx, 



équation remarquable qui montre que dans une courbe quelconque la iiartie 

 interceptée sur la normale finale par le sinus, ou la perpendiculaire y abaissée 

 de l'origine, a pour mesure l'aire formée par une courbe dont ce sinus et l'arc 

 de cercle compris entre les tanqenles extrêmes, rectifié, sont les coordonnées. 

 ') Ceci posé, si l'on calcule le rapport 



d{smx[y —pydx-' -^ f yrix' — ...] — coix(Jydx — J'ydx' -\- . . .) ] 



dx 



on obtient 



sinj: \~ — frdjc+pjdx^ — ..] + {j — p y d.r'^ + J * fdx^ ^ ...)cosj: 

 — co?.x[j — f^jdx- + f^ jdx") -h {Jjda — f^ydjr^ 4- . ..)sin.r 



C. 1;., i865, 1" Smieslre. (T. LX, ^" 21.) 



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