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l'équation 



et les racines resteront réelles ou non, selon que — (p" p et âb auront les 

 mêmes signes ou des signes contraires. De même, la réalité des racines de 

 l'équation 



(DU -\- âcu = O 



dépend de la circonstance que —(p"p et âb.p aient ou non les mêmes 

 signes, c'est-à-dire, puisque p est nécessairement négatif, dans le cas où 

 9 (m) possède deux racines égales, il sera toujours possible, ou en dimi- 

 nuant infiniment peu h ou en diminuant infiniment peu c, de conserver la 

 réalité des trois racines. Si en diminuant b cela a lieu, il n'en sera pas de 

 même quand on diminue c, et vice versa, c'est-à-dire en diminuant une des 

 quantités b, c, par exemple b, et en augmentant l'autre c, les racines 

 restent réelles; au contraire, en augmentant h et en diminuant c, deux des 

 racines deviennent imaginaires. 



» J'ai supposé que deux seulement des racines de <p sont égales; si toutes 

 trois sont égales, la chose marche autrement, car dans ce cas on aura non- 

 seulement (p (p) = o, ©'(p) = o, mais aussi cp" p — o, et en faisant varier en 

 même temps b et c, on trouve 



9"'{p)^-^-\-'^bp^-^âcp = o. 



Donc, en faisant ou ^b = o ou c?c = o, il serait impossible d'empêcher 

 que deux des trois racines deviennent imaginaires. Afin de conserver la réa- 

 lité de ces trois racines, il faut prendre âbp + t?c = 5, où (5 est ou zéro 

 ou une quantité infinitésimale d'un certain degré /, au moins par rapport à 

 i^b ou âc; alors la réalité de ces racines dépendra de la circonstance que 

 ■iâb.p H- o^c soit du signe contraire à (p"'p^ c'est-à-dire négatif, ainsi donc d*c, 



et conséquemment ùb sera positif, et en même temps -r- p -\- i infiniment 



près de zéro. 



» Or, commençons avec l'équation (pu = 0, en possession de deux ra- 

 cines réelles, et supposons que c'est b qu'on peut diminuer sans introduire 

 des racines imaginaires : allons toujours en diminuant b tant que cela sera 

 possible, c'est-à-dire jusqu'à ce que ©(m) ait deux racines égales; à cet 

 mstant, on ne peut plus diminuer b, mais on peut diminuer c sans perdre 

 de racines réelles, et le diminuer jusqu'à ce que deux des racines deviennent 



