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égales; alors il faut lecoiumencer avec é, et ainsi de suite pour c et b tour 

 à tour. Je dis qu'en continuant ces opérations, ni b ni c ne peut devenir zéro, 

 car dans ce cas on sait que l'équation en u ne pourrait avoir qu'une seule 

 racine réelle, il faut en effet se rappeler que quand b deviendrait zéro, 

 c serait positif, et vise versa. De plus, il est évident, les variations de ^ etc 

 n'étant pas simultanées, qu'on ne peut pas tomber exactement sur le cas 

 de trois racines réelles. Donc, en commençant avec b et c, on tombe sur 

 une série double prolongée à l'infini bc,.h,c,., ijC,,, b^Cj,..., telle, que tous 

 les b décroissent et tous les c décroissent, mais sans que ou b ou c dépasse 

 jamais une certaine limite fixe pour l'une et pour l'autre. J'ai supposé 

 que c'était b qui commençait à décroître; si b ne peut pas être diminué, 

 on sera nécessairement en droit de commencer avec c, et on trouvera la 

 série double 



fè, ,c,h, îfj/;, 



Ainsi on voit qu'on peut toujours former deux paires de séries 



b, A,, /?.,) bj,..., c, c,, 60,..., 



f, ,C, 2^5 S^^f'-l '^1 tb, oO,..., 



et que l'équation 



an^ -+- '5jcu^ ■+- '5ju -h d = o 



aura deux racines réelles quand 



^ = ^h J = Ci 



ou bien 



et aussi quand 



ou bien 



JC = ib, J = ,C, 



X — ib, J — i+\C. 



« Dans l'une des deux paires de séries les b et les c croîtront, comme 1! 

 est facile de démontrer, sans limite; dans l'autre paire, il y aura une limite 

 pour les b et une limite pour les c, vers lesquelles ces quantités tendent 

 continuellement. 



» La condition que au? + ixii^ + 'iyu + d = o ait deux racines réelles 

 sera 



a} d'' + 4rtj' 4- kdx^ - 3jr= J- - Çiadxy ^ o, 



disons F {x, jr) = o. 



