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» En supposant cette équation satisfaite par les valeurs positives x = i, 

 j- = c, pour obtenir la première paire de séries, on écrit : 



¥ [x, c) ^ o, qui donnera .r = b, jc = bt, Z», étant positif, 

 F (i,, ^) = o, qui donnera j- = c, j = f,, c, étant positif, 

 F(j:, c,) = o, qui donnera x = b,,a^b2, ^o étant positif, 



et ainsi de suite. De cette manière, on peut trouver les séries b, b,, 

 A,,..., c, c,,..., et semblablement l'autre paire. 



Il De plus, on remarquera que ces séries se développent par le moyen 

 de la solution d'équations quadratiques, car dans les équations cubiques 

 F (x, A) = o, ou F(^, B), dont il esl question, une des racines est tou- 

 jours connue d'avance. 



» Il reste seulement à fixer la valeur de la limite pour chaque série dé- 

 croissante, ce qui est bien facile. Car si b„ diffère infiniment peu de b„+,, 

 c'est que deux racines de r(x, c„) seront infiniment près l'une de l'autre, 

 c'est-à-dire que le discriminant de F sera infiniment voisin de zéro. 



n Or le discriminant du discriminant 



a- d- + /\ac^ -+- ^db^ — Zb'^ c- — babcd 



par rapport à b, on le trouve facilement (à un facteur positif nimiérique près) 

 égal; à [ad- — c')' ; donc la limite de c„, quand n devient infmi, sera né- 

 cessairement ya'r^; de même, la valeur limite de b^ sera \ad-, de sorte 

 que, comme on aurait pu le deviner à priori, la fonction limite de (p(î/) 

 est la forme pour laquelle toutes ces trois racines deviennent égales. 



Il Ainsi on voit que les valeurs limites des b et des c sont indépendantes 

 de la valeur initiale de l'une ou de l'autre. On voit aussi que parce théo- 

 rème on se trouve approcher continuellement de la racine cubique d'un 

 nombre quelconque donné et de son carré sans tâtonnement et sans autre 

 procédé que l'extraction de la racine positive d'une suite infinie d'équations 

 quadratiques. Poiu' cela, tout ce qui est nécessaire est de commencer avec 

 l'équalion 



(fiii — [u + iy iu -h- 



À étant arbitraire. Cela donnera 



a~i, rf=D, 6 = 2/4-7^' c = À--l-— -• 



A' A 



Alors l'une ou l'autre des deux paires de séries, commençant avec les va- 



