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leurs données pour i, c, aura nécessairement yD, y D^ pour limites res- 

 pectives. 



>i Puisque h et c décroissent continuellement vers leurs limites respec- 

 tives, on voit que le théorème suppose que quand l'équation 



a" d^ + ^ac^ + ^db" — 6abcd — 3^- c- = o 

 est satisfaite par des valeurs positives a, b, c, d, on aura nécessairement 



b > \a- d^ c > \ad- . 



Cela se confirme très-simplement. Car en traitant cette équation comme luie 

 équation en b, puisqu'une racine positive existe, foutes les racines seront 

 réelles; donc le discriminant par rapport à b sera négatif, c'est-à-dire 

 [ad'^ — c*Y sera négatif; conséquemment c' > ar/^, et de même on dé- 

 montre que /;' > a^d. 



)» A l'aide des principes expliqués plus haut, on démontre sans diffi- 

 culté qu'en supposant \a'-d, \ad- les limites de b,, et c„, quand on écrit 



/3„ = \Vj' ^ — b„, 7„ = V rt^^ — c,„ 



P2+1 — p^^ /n+i jn ggpQi^j fQ,,g Jpg lieux infiniment petits quand n devient 



infini ; et, de plus, ^ '^ „ ' '" sera infiniment petit sous la même suppo- 



' ' ' P„ ou 7„ ^ rr 



sition. 



» Je prends la liberté d'ajouter que le théorème ici donné ressort tout 

 naturellement d'une étude approfondie que j'ai eu récemment occasion de 

 faire sur les conditions que la variation d'une fonction rationnelle doit 

 remplir pour qu'elle n'amène pas une perte de racines réelles. C'est 

 M. Hermife qui, à ce qu'il me paraît, a été le premier à se servir du grand 

 principe de la variation des coefficients pour l'étude de la nature des formes 

 algébriques. En poursuivant cette théorie dans ses détails, j'ai déjà réussi 

 avec son aide à établir le théorème de Newton pour la découverte de racines 

 imaginaires jusqu'au septième degré inclusivement, et il est bien probable 

 que dans un court délai on réussira (moi ou quelque autre) à établir ce 

 grand théorème dans toute sa généralité pour l(s équations d'un degré 

 quelconque. » 



c. F.., i8C5, i" Si-mesire. (T. LX, N" 22.) '4^ 



