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GÉOMÉTRIE. — Sur une suiface réglée du huitième ordre qui possède quatre 

 lignes doubles du second ordre. Mémoire de M. de la Gouknerie, présenté 

 par M. Chasles. (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires, MM. Chasles, Bertrand.) 



« Plusieurs géomètres, et principalement MM. Ponceiel et Chasles, ont 

 fait connaître de nombreuses propriétés de la développable circonscrite à 

 deux surfaces du second ordre. J'ai trouvé une surface dont cette dévelop- 

 pà^ble est une variété. 



Génération de la surface. — Coniques doubles. — Ligne noda/e. 



» 1 . Considérons dans l'espace deux coniques quelconques, A, A' ; appe- 

 lons E et F les points qui sont conjugués par rapport à l'une et à l'autre sur 

 la droite D suivant laquelle se coupent leurs pians; formons sur cette droite 

 deux divisions homographiques sous la seule condition que les points E et F 

 en soient les points doubles; déterminons les pôles A et B de la droite D 

 par rapport à A et à A'; concevons des faisceaux ayant pour centres les 

 points A et B et dont les rayons passent respectivement par les points des 

 deux divisions homographiques de D; joignons enGn par des droites les 

 points de rencontre des rayons du faisceau A avec A, aux points où les 

 rayons homologues du faisceau B coupent A' : le lieu de ces droites est une 

 surface du huitième ordre, sur laquelle les deux coniques A et A' sont dou- 

 bles, et qui possède deux autres coniques doubles A", A'" sur les plans ABE, 

 ABF. 



n Je désignerai par la lettre 1 la surface obtenue par le mode de géné- 

 ration qui vient d'être indiqué. 



u 2. Il y a un parallélisme complet entre les propriétés des quatre co- 

 niques A, A' A", A". Ainsi, les sommets de l'une quelconque des faces du 

 tétraèdre ABEF sont trois points conjugués par rapport à la conique située 

 sur cette face. 



» 5. Deux quelconques des quatre coniques peuvent être prises pour 

 directrices, pourvu que l'on forme deux divisions homographiques conve- 

 nables sur l'arête du tétraèdre ABEF commune à leurs plans. Il existe ainsi 

 sur chaque arête deux divisions homographiques qui peuvent servir à la gé- 

 nération de la surface. Ces six couples de divisions ont entre eux des rela- 

 tions très-sim|)les. 



» Deux divisions homographiques sur une même droite sont déterminées 



