COMPTE RENDU 



DES SÉANCES 



DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES 



SÉANCE DU LUNDI 19 JUIN 1865. 

 PRÉSIDENCE DE M. DECAISNE. 



MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. 



THÉORIE DES NOMBRES. — Nombre des représentations d'un entier quelconque 

 sous Informe d'une somme de dix carrés. Note de M. Liouville. 



« La question dont je veux m'occuper ici pour en donner une solution 

 complète m'a paru longtemps bien difficile. Il s'agissait de trouver une 

 expression simple du nombre N des représentations dont un entier quel- 

 conque n est susceptible sous la forme d'une somme de dix carrés. Eisenstein 

 a traité le cas particulier d'un entier impair ^3 (mod. 4); mais après avoir 

 indiqué la formule propre à ce cas, il ajoute qu'il n'y a pas de formule sem- 

 blable pour les entiers ^i (mod. /)). Une remarque de l'illustre géomètre 

 au sujet des formes quadratiques à plus de huit indéterminées semble même 

 tendre à décourager toute recherche ultérieure. Des entiers pairs, Eisenstein 

 ne dit rien. Plus tard j'ai traité le cas du double d'un entier ^3 (mod. 4); 

 on restait toujours très-loin du but. Enfin mes efforts ont abouti. J'ai eu le 

 bonheur d'arriver à la formule générale, et cela au moment même où je 

 désespérais presque d'y jamais parvenir. Soit X l'excès de la somme des 

 quatrièmes puissances des diviseurs de ti qui sont ^i (mod. 4) sur la 

 somme des quatrièmes puissances des diviseurs de n qui sont ^3 (mod. 4)- 

 Cet excès déjà employé par Eisenstein est un des éléments de ma formule. 

 Mais il faut, de plus, avoir égard à la puissance de 2 par laquelle n est 

 divisible; je désignerai l'exposant de cette puissance par a, en sorte que 

 l'on ait n^ 2" m, m étant impair et l'exposant a pouvant se réduire à zéro. 



C. K., i865, I" Semestre. (T. LX, N» 2S.) 1^4 



