( 1262 ) 



donné sans preuve par son auteur, n'a pas été démontré jusqu'à ce jour, 

 nonobstant les efforis des Maclaurin, des Waring et des Euler. Soït Jx une 



fonction rationnelle et entière de x. Soit c„, /zc,, fi " ~ ' c..,..., c„ les coeffi- 

 cients des puissances successives de x dans y (.r -\- p). Ecrivons 



Co = cl, C, =ci — CoC., C, = f- — c, C3,..., c:„ = c,f. 



Alors on peut dire qu'a chaque petite lettre c\ est associée luie grande 

 lettre C„ et de mên)e à chaque succession c^, c,+, de petites lettres est 

 associée une succession de grandes lettres C,., 0^+,. Quand ces successions 

 forment toutes deux des permanences, c'est-à-dire quand les produits 

 Cr-Cr+, et Cr-Cr+i sout tous Ics deux positifs, on peut dire que la succes- 

 sion composée ( p ,-'^' ) forme une double permanence; et en prenant de 



cette sorte toutes les successions simultanées fournies par ces deux suites, 

 il V aura un certain nombre de ces permanences qu'on peut nommer le 

 nombre de permanences doubles propres à p. 



» Or, je dis qu'en supposant p plus grand que q, In différence entre le 

 nombre des permanences doubles propres à p et le nomlire de ces permanences 

 projires à q ne sera jamais négative, et de plus elle fournira une limite supé- 

 rieure au nombre de racines réelles comprises entre p et q. 



» Si l'on prend p égal à zéro et q égal à — so , il est évident que le 

 nombre de permanences doubles propre à — 00 est zéro, car toutes les suc- 

 cessions simples dans/ (— ce ) sont des variations. 



» Ainsi, en donnant aux coefficients de Jx, disons Cq, c,, c^,..., c„, le 

 nom do suite cartésienne, et à Cq, C,, Co,..., C„, formés de la manière dé^ 

 crile ])lus haut, cchii de suite neivtonienne appartenant à fx, on peut 

 affirmer que le nombre des racines négatives dans une équation a pour 

 hmite supérieure le nombre des permanences doubles fournies par la com- 

 binaison de la suite cartésienne avec la suite newtonienne; et conséquem- 

 ment, en changeant x en — x, on voit également que le nombre des racines 

 positives de la même équation aura pour limite supérieure le nombre des 

 successions simultanées composées d'une permanence newtonienne associée 

 à une variation cartésienne. C'est là, en d'antres termes, le théorème com- 

 plet de Newton, comme on peut le vérifier en consultant Y Arithmétique 

 universelle. 



» On voit facilement que, pour la forme f{x -+- p], les éléments r„, 

 r,,..., c,„ au moyen dcsqiiels on forme C^, C,...., C^, ne sont autre chose 



