( 86 



GÉOMÉTRIE. — Sur tes poljcjones inscrits à une conique et circonscrits 

 à une autre conique. Note de M. G. Darbouk. 



« Les théorèmes que la Géométrie doit à Poncelet sur les polygones 

 inscrits à une conique. et circonscrits à une autre conique ont été l'objet 

 de nombreuses et profondes recherches. Je ne sais cependant si l'on a re- 

 marqué la proposition suivante : 



)) Toutes les fois que l'on aura un polygone d' ordre n, inscrit à une conique 

 el circonscrit à une autre conique, on pourra obtenir une transformation ration- 

 nelle d'ordre ii d'une intéyrale elliptique dans une autre. 



» Parmi les démonstrations différentes que l'on peut donner de cette 

 proposition, je choisirai la plus élémentaire. 



» Considérons un polygone d'ordre n inscrit à une conique (C). Si les 

 équations des différents côtés de ce polygone sont 



P, = o, . . . , P„ = o, 



on sait (' ) que tous les points de la conique satisferont à une équation de 

 la forme 



/ \ itt ih, a,, 



(') p; + p, + ----^p;. = °' 



où a,, . . . ,rt„ sont des constantes convenablement choisies. Supposons que 

 tous les côtés du polygone soient tangents à une nouvelle conique (C). Les 

 points de cette courbe peuvent être définis rationnellement par les diffé- 

 rentes valeurs d'un paramètre \, et un point quelconque du plan sera 

 déterminé par les valeurs de ce même paramètre, correspondantes aux 

 deux points de contact des tangentes menées de ce point à la conique (C). 

 Si l'on désigne ces deux valeurs du paramètre X par p, p,, on aura ainsi 

 constitué un système de coordonnées ponctuelles, que j'ai déjà étudié, et 

 l'équation (i) pourra être mise sous la forme 



?1p) tIpO 

 les symboles y, y désignant des polynômes d'ordres « — i, n respective- 



( ' ) P'oir 11)011 Ouvrage Sur une classe remarquable de courbes et de sur/aces algébriques, 

 !'• '9'- 



