( 'o6 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques applications des fondions 

 elliptiques. Note de M. Hermite. 



« XXI. Ce sont les belles et importantes découvertes de M, Fùchs dans 

 la théorie générale des équations différentielles linéaires qui permettent 

 ainsi d'obtenir les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'intégrale 

 complète de l'équation considérée soit une fonction uniforme de la va- 

 riable. Il n'est pas inutile, à l'égard de ces conditions, de remarquer 

 qu'elles se conservent, comme on le vérifie aisément, dans les transfor- 

 mées auxquelles conduit la substitution jj-' == ze^'""^, à savoir 



Z"— Y^lOL+J {u)]z' -{-[(/} +cf{u)-\- g [u)]z = O. 



J'observe encore que l'on peut supposer doublement périodiques les 

 fonctions j [u] et g[u), en convenant que les quantités u--=o, ii=^a, 

 11=^ b, . . . , au lieu de représenter tous leurs pôles, désigneront seulement 

 ceux de ces pôles qui sont à l'intérieur du rectangle des périodes. Soit 

 donc, en nous plaçant dans ce cas, 



ou bien, d'après la remarque qui vient d'être faite, 



/(«)=2«+|-, 



a étant une constante arbitraire. Je disposerai de cette constante de sorte 

 qu'on ait 



■^'-"^ ~ H(«-«) "^ n[u-b) ^ H(«) ©(«) 0(6)' 



et par conséquent, d'après les formules connues, 



sn a sn è 



/(«) = 



sn w sn ( a — a) sn « sn ( u — b] 



