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 et par conséquent 



sni> sn[o — « j 



» Telles sont donc, exprimées au moyen de la nouvelle indéterminée C, 

 les valeurs très simples des constantes A et B pour lesquelles, d'après les 

 principes de M. Fûchs, l'intégrale complète de l'équation 



sn b 



sn II sn 1 II — « 



sn u sn [ Il 



r 



A sn n R sn ^i i ,,, 



^- -"T— n-rr T, + Trr-. r ~ ^'' 



sn « sn ( K — a] sn « sn ( « — b\ sn' , a — h \ 



v — o 



est une fonction uniforme de la variable avec le seul pôle « — o. 



» Nous sommes assurés de plus, par une proposition générale deJM. Picard 

 [Comptes rendus du 21 juillet 187g, p. i/^o, et de cette séance, p. 128), que 

 cette intégrale s'exprime dès lors par deux fonctions doublement périodiques 

 de seconde espèce. Si donc on restitue, en faisant la substitution ^ — ze"-^, 

 une constante arbitraire dont il a été disposé pour simplifier les calculs, 

 il est certain que la nouvelle équation différentielle contiendra, comme 

 cas particuliers, toutes celles dont il a été précédemment question. C'est, 

 en effet, ce que je ferai bientôt voir; mais je veux auparavant obtenir une 

 confirmation de l'important théorème du jeune géomètre en effectuant 

 directement l'intégration de cette équation et donner ainsi, avant d'aborder 

 des cas plus généraux, un nouvel exemple du procédé déjà employé pour 

 l'équation de Lamé dans le cas le plus simple de n =-- 1 . 



» XXII. Considérons la fonction doublement périodique de seconde 

 espèce la plus générale, admettant pour seul pôle u = o, à savoir 





et proposons-nous de déterminer oj et ). de telle sorte qu'elle soit une solu- 

 tion de l'équation proposée. Soit, à cet effet, <!>(?/) le résultat de la substi- 

 tution de J\ii) dans son premier membre. Les coefficients de l'équation 

 ayant pour périodes 2K et aiK', on voit que cette quantité est une fonction 

 deseconde espèce, ayant les mêmes multiplicateurs quej^[u), qui pourra, 

 par conséquent, remplir à son égard le rôle d'élément simple. On voit 

 aussi que les pôles de $(«) sont it = a, u = b, n = o, les deux premiers 

 représentant des infinis simples et !e troisième un infini triple. Nous aurons 

 donc 



$(«) = %J\u - a) + %f[u ^ h) -i- €J{u) + €'/'(«) -!- €"/"(«), 



