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si cette équation admet une intégrale uniforme n'ayant clans tout le plan 

 qtie des pôles, cette intégrale pourra être exprimée au moyen des fonc- 

 tions TI, 0, ... de Jacobi. Je me propose de faire voir aujourd'hui que le 

 même résultat s'étend à une équation linéaire d'ordre quelconque, où les 

 coefficients sont des fonctions doublement périodiques de la variable. 

 )) Considérons une fonction uniformey^(x) telle que l'on ait 



iy(^ + 2/«K) = A,y(.r) 

 ^ I +Ao/(,x + 2K) + ...H-A,„/[a'4-2(w-i)K], 



(y(^ + 2'«'K') = B,/(.r) 

 ^^' { 4- BJ'{ ce + 2 /K' ) -[--.. . + B,„/ [a- -j- 2 ( m - I ) /R' ], 



les A et les B étant des constantes, et m un entier positif. J'envisage l'ex- 

 pression 



(:■)) f[x H- 2(hz - i)K] -I- ix,f[x 4^ 2{m - 2)K] + . . .-l- p.„, ,/(.r). 



On peut choisir les constantes p.,, fj-o, ..., p.,„_i de manière que cette 

 fonction se reproduise à un facteur constant près par le changement de 

 jc en a.- -+- 2K; il suffira que l'on ait 



A,„ + fA, — '- —■■■—. 1 ^ 



» On forme sans peine l'équation de degré m donnant jn,. Supposons 

 que cette équation ail ses racines distinctes, ce qui arrivera en général; 

 nous aurons alors m systèmes de valeurs de /u,,, u.o, ..., [-».,„_( pour les- 

 quels l'expression (3) se reproduira à un facteur constant près par le chan- 

 gement de jc en ûc -h iK. On s'assure aisément que le déterminant formé 

 par ce système en y adjoignant une colonne dont les termes sont égaux 

 à l'unité n'est pas nul, et l'on en conclut alors que 



les m fonctions cp se reproduisant à im facteur constant près, différent pour 

 chaque fonction, quand on change j: en .%■ H- 2K. En substituant cette va- 

 leur <iej\x) dans l'équation (2), on voit que chaque fonction cp satisfait à 

 une relation de la forme (2), et l'on établira, en suivant la même marche 

 que précédemment, que chacune de ces fonctions est la somme de m fonc- 

 tions se reproduisant à un facteur constant près par le changement de x 



C. R , 1880, I" Semestre. (T. XC, N» 3.) ' 7 



