( i3o ) 

 en X + 2/K'; f{x) est, par suite, la somme de m- fonctions doublement 

 périodiques de seconde espèce. 



» Nous avons supposé que l'équation de degré m donnant fjt,, avait ses 

 racines distinctes. Le cas où plusieurs de ses racines seraient égales peut 

 être considéré comme cas limite du cas général ; il y aura simplement alors 

 dans la fonction un changement de forme analytique, et l'on pourra dans 

 tous les cas exprimery (j:) au moyen des fonctions de Jacobi. 



» Soit maintenant une équation linéaire d'ordre m, à coefficients double- 

 ment périodiques ; cette intégrale devra nécessairement, d'après la forme 

 de l'équation, satisfaire à deux relations de la forme (i) ft (2), les A. et les B 

 étant des constantes : la proposition que nous avions en vue se trouve dès 

 lors établie. On peut aller plus loin; ^(jr) est, dans le cas général, la 

 somme de in"^ fonctions de seconde espèce : il est aisé d'établir qu'ici 

 rn" — m de ces fonctions devront être identiquement nulles, ety(a:)sera, par 

 suite, la somme de m fonctions doublement périodiquesde seconde espèce. 



» Considérons, comme application, l'équation linéaire du troisième ordre 



'iLc^ + ^^' ~ ^^' ''"'"^) lïr + '''^" = °' 



OÙ snx est la fonction elliptique ordinaire de module A, h et /i, sont deux 

 constantes quelconques. Son intégrale générale est uniforme : c'est ce qui 

 peut facilement se reconnaître d'après les principes de M. Fùchs. Trois de 

 ses intégrales auront la forme 



X et w étant deux constantes convenablement choisies. 



» En substituant cette expression de j- dans l'équation différentielle, on 

 trouve les relations 



Zi — (i-f- k-) -+- 3(X'- — k"^ sn- 00) =; o, 

 hf = 2À' ~ 6/,^' sn"w -i- 2). (i -h A^) — 4^' sn w en w du w. 



» L'élimination de X entre ces équations donne 



(4) ^1 -i- 8/?i A" sn w cnw dnco + Msn- w +■ N = o, 



où M et N sont des polynômes en //. Le premier membre de cette dernière 

 équation, considérée comme fonction de w, est une fonction doublement 

 périodique aux périodes 2K et a/K', ayant l'infini triple ÏK.'; l'équation (4) 



