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 la/,~lx/,— rn^. Posons 



et désignons pary(/) une fonction uniforme dej admettant la période h. 

 La fonction 



(<) /[^,„j,-+A ioj.y(x)] 



est une fonction uniforme de x et 7 admettant trois paires de périodes 

 conjuguées, à savoir pour x les périodes w, w', o et pour j- les périodes 



correspondantes o, — , è. Formons un nombre quelconque de fonctions 



telles que(i), puis prenons une loiiclion rationnelle de ces (onctions, de 

 fonctions doublement périodiques de x aux périodes w et w', et de fonc- 

 tions doublement périodiques de y aux périodes — et Z) ; nous obtien- 

 drons ainsi une fonction uniforme ^[x,y) admettant les trois paires de 

 périodes déjà indiquées, et dont les dérivées partielles sont des fonctions 

 composées de la même façon que la fonction elle-même. 



» II. Parmi les fonctions précédentes F( a:, j), je considère en particulier 



celles qui sont des fonctions rationnelles de e * : les dérivées partielles de 

 ces fonctions seront composées comme les fonctions elles-mêmes. Entre 

 trois de ces fonctions particulières 



(2) u = ^{x,j), i'-^w{x,;r)' H'=-n(a-,j), 



il existe une relation alcjébriqite. En effet, en éliminant e '' entre les deux 

 premières des équations (2), on obtient une relation algébrique entière 

 entre u et f, dont les coefficients sont des fonctions de x admettant la pé- 



riode w et se reproduisant multipliées par un facteur de la forme Ae " 

 quand on augmente x de 00'. Ce facteur est le même pour tous les coeffi- 

 cients, car la relation entre n, v et x ne doit pas changer quand on aug- 

 mente X de m'. Par suite, en multipliant ou divisant tous les termes de 

 cette relation par un produit convenable de fonctions 9, on peut la mettre 

 sous la forme 



(3) ln'v^h-,,^=o, 



où les coefficients B bont des fonctions de x admettant les deux périodes w 



