( 176) 



et oj'. En éliminant de même e ' entre la première et la dernière des 

 équations (2), on obtient une relation 



(A) luhv^Cy,,= 0, 



OÙ les coefficients C sont des fonctions de x admettant les deux périodes « 

 et w'. L'élimination de x entre les équations (3) et (4) conduit à une rela- 

 tion algébrique entre u, v, îv, ce qui démontre le théorème. En particu- 

 lier, il existe une relation algébrique entre m, -t-» -t-- Il résulte encore du 

 théorème précédent que, si l'on considère deux équations algébriques 



(5) f,{z,t,U,v)^^0, /,{z,t, II, i>)'-=0 



entre deux variables z et < et les fonctions u, v de x et j, les variables x 

 etj-, considérées comme fonctions de z et i définies par ces équations (5), 

 satisfont à un système d'équations différentielles simultanées de la forme 



Z c?z-r-T clt = dx, 

 Z,dz-hT,dt = dy, 



dans lesquelles Z, T, Z, , T, sont des fonctions aUjébriques de z et t. 



» Parmi les fonctions de cette espèce se trouvent les fonctions de deux 

 variables à trois paires de périodes étudiées par Rosenhain (Académie des 

 Sciences, Savants étrangers, i85i). 



). m. Si l'on fait 



avec la condition id,^ — lu'/, = — '«/3', et si l'on emploie les mêmes nota- 

 tions que dans le § I, en supposant que la fonction y (j") admette, outre 

 la période b, une autre période b', on voit que la fonction 



est uniforme et admet quatre paires de périodes conjuguées, à savoir 

 pour X les périodes o, o, w, w' et pour j' les périodes correspondantes b, b', 



— 5 -4^- On peut encore former des fonctions analogues aux précédentes 



avec des fonctions périodiques de plusieurs variables et des fonctions de 

 plusieurs variables. » 



