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» La condition nécessaire et suffisante pour que ta formule (3) soit en défaut 

 est par conséquent que les deux constantes [i. et y.' puissent être mises sous la 

 forme (y). 



» Il paraît être d'une grande importance de trouver une formule qui 

 remplace celle de M. Hermile dans ce cas d'exception. On peut facile- 

 ment obtenir cette formule en employant le même procédé par lequel 

 M. Hermite a déduit la formule 



(8) Fi.)=S.-^.,B'lll=Jll^-,...^s^B^p^ 



de la formule (3) ('), dans le cas où F[x) est une fonction doublement 

 périodique de première espèce. 



» Je préfère pourtant suivre une autre voie peutétre plus rigoureuse et qui 

 a été employée maintesfois par M. Hermite. Soit S[z) une fonction uniforme 

 quelconque avec le seul point singulier essentiel z -= J- et soit A la somme 

 des résidus des différeuls pôles de cette fonction qui sont situés dans l'in- 

 térieur du parallélogramme p -h ^ 2K. -+- vj 2iK.', sur le contour duquel il 

 n'y a point de pôles. 



» On a alors 



i 2!iiA ^ 2K / [S{p -+- 2¥^t) ' S[p + 2/K.'+ 2\\t)]dt 



\ r' 



I — 2iK'/ [S{p 'r-2iK.'t)^ ^{p -h 2K -h 2i[s.'t)]dt. 



[9) 



» Soit maintenant F [x) une fonction doublement périodique de seconde 

 espèce pour laquelle les deux constantes p. et [j.' ont la forme (7) et mettons, 

 en supprimant l'indice de 1, 



et, pour un moment, 



(i.) .f(z) = F(2)f(x-s). 



» On a alors 



#(j +- 2K) ■=S{z), 



'12] 



' ^ U{z+ 2iK') := S'{z) -h ^ e''-'^-^)r(z), 



( ' ) Comptes rendus, t. LXXXV. 



