( '«o ) 

 ainsi la représentation de F(x) dans tons les cas où la formule (3) de 

 M. Hermite est en défaut. Si X = o, F(x) devient une fonction doublement 

 périodique de première espèce, et la formule (i5) se réduit alors à la 

 formule (8) donnée par M. Hermite, dans sa Note de la sixième édition du 

 Calcul différentiel et intégral par Lacroix. La formule (i 8) devient, dans 

 ce cas, 



2a = o. » 



ANAIiYSE MATFIÉMATIQIIE. — Sur la délerminalion d'équations numériques 

 ayant un nombre donné de racines imaginaires. Note de M. Laguerre, 

 présentée par M. Hermite. 



« Il est très facile de former des types d'équation ayant tontes leurs ra- 

 cines réelles et de celles-là on déduit, comme on le sait, par les moyens 

 les plus élémentaires, un nombre indéfini d'équations qui ont tontes leurs 

 racines imaginaires ou du moins ne peuvent avoir qu'une racine réelle. 



» Il est moins aisé de former des équations ayant un nombre déterminé 

 de racines réelles et un nombre déterminé de racines imaginaires; l'étude 

 des polynômes entiers qui satisfont à une équation différentielle du 

 second ordre fournit néanmoins un grand nombre de solutions de ce 

 problème. 



1) Pour en donner un exemple, je considérerai l'équation 



à laquelle satisfait le dénominateur y^ de la ;?i'*°°'' réduite de la transcen- 

 dante 



^ re-'d.r 



» Oti a, comme l'on sait ('), 



y,„ = a;"' -+- m-x"'~' + 'J^_J!i -cc"'~-~i-...-hm.i.2.3...mx-{- 1 .23... m. 



et l'équation y,„r= o a toutes ses racines réelles, inégales et négatives. Deux 



C e~' dx 

 (') Voir ma Note Sur l'intégrale j [Bulletin de la Société mathématique de 



Frame, t. VII, p. 'ja). 



