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 polynômesy,,, et /„, où ineln désignent deux nombres entiers différents 

 (je supposerai m >> n), ne peuvent, d'ailleurs, avoir de racine commune. 

 » Cela posé, des deux identités 



^/"„-^{^-+-i)J ", = '"/,'„ 

 et 



on déduit aisément l'égalité suivante 



a;V'-f- (a; + i) V = (m - n)f„f„, 

 où j'ai posé, pour abréger l'écriture, 



» L'équation V=oa, du reste, toutes ses racines inégales; car, si un 

 nombre a annulait à la fois V et sa dérivée, il annulerait évidemment un 

 des polynômes/,„ et/„ sans annuler l'autre; en supposant qu'il annuley^^t, 

 il devrait annulei- également/',,, ce qui est impossible puisque l'équa- 

 tiony,'„=o a toutes ses racines inégales. 



» De la relation précédente on déduit 



.) En désignant, avec Gauchy, par la lettre I l'indice d'une fonction et 

 par £ une quantité positive très petite, j'en tire l'identité 



où le premier membre est, au signe près, le nombre des racines négatives 

 de l'équalion V = o, puisque le facteur x demeure négatif dans l'intervalle 

 considéré. Dans le second membre, on peut négliger le terme — (a7-4-i), 

 qui ne devient jamais infini pour aucune valeur finie de la variable, ainsi 

 que le facteur positif (m — »). 



» On a d'ailleurs, d'après une proposition fondamentale due à Cauchy, 



./;„/, 'ifj'n.-.Lf:,. 



0. R., 1880, \" Semestre. {1. XC, N« 4.) 



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