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et nous démontrerons immédiatement, le premier membre étant une fonction 

 doublement périodique, qu'on n'aura, dans le rectangle des périodes 2K 

 et 2jK', que deux valeurs pour l'inconnue. En eftet, la fonction, qui au 

 premier abord paraît avoir les trois pôles w =^ /K' — a, &j = îR' — b, 

 ù) = jR', ne possède en réalité que les deux premiers, le résidu relatif au 

 troisième, qui est un infini simple, étant nul, comme on le vérifie aisément. 

 Ce point établi, nous donnerons, pour éviter des longueurs de calcul, une 

 autre forme à l'équation, en employant l'identité suivante, 



sn 6 sn ( è -H 0) ) — su a su (fl + (M ) 



= sn((5> — a) sn(fl -t- /^ H- w)[r — P sna iwb sn(rt + «) sn(è 4- w)J, 



à laquelle je m'arrête un moment. Elle est la conséquence immédiate de la 

 relation mémorable obtenue par Jacobi, dans un article intitulé Formulée 

 novce in llieoria transcendenlium ellipticaruin fundameiitales [Journal de Ci elle, 

 t. XV, p. 201), à savoir 



E(m) -h E(rt) + E(è) - E(m + rt 4- Z») 



= A:"^ sn (m + a) sn (« H- b)sn{a-\-b)\_ï — k'^ snusna&nb ■in[u -\- a -i- b)]. 



» Qu'on change en effet a en ~ a, puis « en a + w, on aura 



E(rt4-a))-E(a) +E(^>) - E(è + w) 



= /l-^snoi)sn(è — fl)sn(a+ è + u) [i — /t^ snasn6sn(a + w)sn(è + w)] 



et il suffit de remarquer que le premier membre, étant la différence des 

 quantités E(a -\- a) — E(a) — E(co), E(ô 4- w) — E(è) — E(où), peut être 

 remplacé par A^ sn w[sné sn (è + w) — snasn(a + w)]. 



» On y parvient encore d'une autre manière au moyen de la relation 

 précédemment démontrée, 



G = — 7 — ] r> -t- k'^ sna snu snf« + w) 



Lsnosn(a — 0) ^ 'J 



X ^W : + k^ snèsn«sn(é +?;<))= P sn-w - -— rr' 



car on en tire 



snè sn(rt -i- w) — snasn(6 +• m) 



= snwsn (é — a)\i — k- snasnèsn (a + w) sn(Z» + w)], 



ce qui donne la formule proposée en changeant a en — a, b en — b et &j 

 en (ji -h a -\- b . 



