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et j'obtiens, comme on le voit facilement, 



aX =; A:°[snrtsnt<) sn(a + w) + snisnw sn[b -}- to)j, 

 ou bien encore 



aX =; P [sn(a + |3) sn(u — a) sn(u -h p) h- sn(« — |3) sn(u — a) sn(u — p)]. 



» Maintenant, un calcul sans difficulté donne en premier lieu l'expres- 

 sion 



. snacna dny.(sn''j — sn'[3l ^ sn-j cn^j iltijfsn'jî — sn'a.) 



(i — fi- sn=-j sn-a) (i — X-^sn'^a sn'P) ^i — k'' sti^u sn'a) ( i — X-^ sn'u sn-p) ' 

 on en conclut ensuite la valeur cherchée, à savoir 



. snacn» clniz[sii'a — sn^p — (i — ^- sn'p)L] 



'~ (1 — /-sn'asn^p)[i — A^sn'a + A-*(sn=«— sn^pjL] 



• A^sn^asn'p) [i — A"sn'a+ X-^(sn^a — sii'p) L] 



» Cette expression devient illusoire lorsqu'on suppose d'abord 

 I — Psn-a sn*|3 = o, c'est-à-dire a H- j'3 = a = iK' ou bien «— |3 = Z>= /K', 



puis en faisant 



I — ^-* sn''« + /i:-(sn'a — sn-j3)L = o. 



» La première condition, ayant pour effet de rendre infinis les coefficients 

 de l'équation différentielle, doit être écartée; mais la seconde appelle l'at- 

 tention, et je m'y arrêterai un moment, afin d'obtenir la nouvelle forme 

 analytique que prend l'intégrale dans ce cas singulier. 



» XXIV. Remarquons en premier lieu que cette condition se trouve 

 en posant 



2 sn^a — L I 



*" " ~ I — A^sn'pL ~ A'sn^a' 



c'est-à-dire u = a + l'K', et donne par conséquent w == iYJ. Cela étant, 

 je fais dans la solution de l'intégrale, qui est représentée par la formule 



yfT\ ^ ©hJ ^ ^ — /R'-f- £, £ étant infiniment petit, et je développe 



suivant les puissances croissantes de i la différence X — ,^' -Or l'exprès- 

 sion précédemment employée 



aX = /i:^[snasnw sn(rt -h w) + snèsnu sn(è -h w)J 



