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 former un système fondamental d'intégrales dans lequel chaque intégrale 

 est bien définie pour le voisinage du point a. Mais c'est seulement pour des 

 valeurs du module de [x — a) qui ne surpassent pas une certaine limite 

 que les séries par lesquelles ces intégrales sont exprimées restent conver- 

 gentes. Le but idéal de l'intégration des équations différentielles est pour- 

 tant de trouver des expressions analytiques des intégrales qui soient définies 

 pour chaque valeur de la variable indépendante x. J'y suis parvenu dans le 

 cas où l'intégrale complète de l'équation différentielle (A) est une fonction 



uniforme avec le seul point singulier essentiel x =^ - • J'emploie la déno- 

 mination de point essentiel dans le sens qui lui a été donné par M. Weier- 

 strass, dans son Mémoire célèbre intitulé Sur les fonctions analytiques uni- 

 formes d'une variable. 



» Je me suis demandé quelle est dans ce cas la forme des fonctions 

 J, {x),j2{x), . . .,f„[x). Je trouve cette forme, etje montreaprès comment 

 on peut toujours obtenir un système fondamental d'intégrales qui y corres- 

 pondent, où chaque intégrale est le quotient de deux séries de puissances 

 de X toujours convergentes. 



» Qu'il me soit pernîis d'expliquer plus en détail les résultats que j'ai 

 trouvés pour le cas où l'équation différentielle proposée est du second ordre. 

 Je mets 



» D'après les principes de M. Fuchs, il est alors nécessaire que les deux 

 fonctions^^, (a-) elj^i^) soient des fonctions uniformes avec le seul point 



singulier essentiel x =^ -? et que pour le voisinage d'un pôle a elles aientla 



forme 



f,{x) = {x — ar*[k„-+- k,{x — a)-h k^ix — ay -\- . . .], 



J^i^) = (a; — rt)"-[/?o-T- }u{x — a)->r li.2{x — a)- + ...], 



où les deux séries sont convergentes pour des valeurs suffisamment petites 

 du module de [x — a). 



)) J'ajoute d'abord à cette condition que les deux coefficients /?„ et kg 

 sont nécessairement des nombres entiers positifs ou négatifs, ou zéro, tels 

 que 



4/io-H (i-hA-o)'= m-, 



où m est un nombre entier positif. Je montre après que les coefficients 

 A,, A;. .... A,„, h,. Ik, ■ , f'm sont liés ensemble par l'équation algébrique 



