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qu'on obtient en éliminant les quantités c,, Co, . . . , c,„_, entre les équations 



(i — in)cy = H^-, + 7z,, 

 2(2 — m)c2 — nk^ 4- ^^2+ [(" + ^V^> H- h{]^\i 

 3(3 — m)c3 = «/?:3 H- hj, + [{^71 + i)îc., 4- ^2]^= -i- [(^^ + ^l/t, + /?,]C|, 



1 



o =: n A-;„ -t- /(,„ + f(/î 4- i) A„,_, + /2,„_, j c,„_, -t- . . 

 -f-[(«4- m — i)/t, + /«,]<?,. 



» Le nombre n est 



72 r= [(l + /•„ — m). 



» Ces conditions étant remplies, l'intégrale complète de l'équation (B) est 



toujours une fonction uniforme avecleseul point singulier essentiel x = -■ 



1) Pour obtenir cette intégrale, j'étudie d'abord le nombre n. S\n est un 

 nombre positif ou zéro, alors aucune intégrale de l'équation (B) n'a de pôle 

 aii point a. Si au contraire le nombre n est négatif, alors le point a est 

 toujours un pôle de l'intégrale complète de (B). Dansée dernier cas, je 

 mets 



«' = — w = — I (i 4- A'o — m). 



» Je forme maintenant, d'après les principes de M. Weierstrass, le produit 

 convergent 



n(^) = n 



^^-^m:^^] 



1) Alors z = j W.[x) est nécessairement une fonction analytique entière 

 de la variable jc. En faisant n)aintenant dans l'équation (B) la substitu- 

 tion 



^ n( 



on obtient, par conséquent, une équation 



n .r 



Ln(x)Jr' 



qui possède un système fondamenlal d'intégrales i; = z,, r= Z2, où chaque 

 intégrale est une série qui procède suivant les puissances croissantes et posi- 

 tives de X et qui converge pour une valeur quelconque de x. Les coeffi- 



