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 exister des vaisseaux au sommet et à la base de la nervure médiane, quand 

 il n'y en a pas encore dans la région moyenne. 



» Des deux glumelles, c'est l'externe ou inférie-ure qui la première pos- 

 sède des vaisseaux; mais, ainsi que je viens de le dire, les étamines en ont 

 avant les glumelles, et, dans la fleur inférieure, elles en sont pourvues 

 avant les glumes. Je citerai d'autres exemples de ce fait. » 



THÉORIE DES NOMBRES. — Sur les diviseurs des fonctions cjclotomiques; 



par M. Sylvestek. 



« Soit k un nombre quelconque; formons la série 



cosX, ^> cosXj-^j •••? cosX,-^^- 



),i, '/..,, . . ., X, étant les \f{k) nombres premiers à k et moindres que -• 



Le produit de tous les facteurs jî~ 2CosX — est ce que l'on nomme une 



fonction cjclotomique, et A" sera nommé son indice. En effet, la fonction 

 cyclotomique en x à l'indice k est ce que devient le facteur pri- 

 mitif de i^ — I quand ou le divise par i' et que l'on écrit t-^- - =jc. A 



l'indice i ou 2 ne correspond aucune fonction cyclotomique, et pour les 

 indices 3, 4, 6, la fonction cyclotomique est linéaire, et conséquemment 

 ne peut posséder aucune propriété arithmétique. 



» Je distingue les diviseurs de ces fonctions en deux classes. Les nombres 

 qui divisent la fonction sans diviser l'indice se nomment diviseurs extérieurs 

 ou extrinsèques, ceux qui divisent en même temps une fonction et son in- 

 dice se nomment diviseurs intérieurs ou intrinsèques. 



» Voici les théorèmes que j'ai réussi à établir concernant ces diviseurs. 



>• Quant à la première classe, je démontre : 



» 1" Que tout nombre dont les facteurs premiers diminués ou augmentés 

 de l'unité sont divisibles par l'indice d'une fonction cyclotomi(jue est 

 diviseur de cette fonction. Je fais dépendre la démonstration de cette pro- 

 position du théorème suivant, qui est, pour ainsi dire, la clef de la théorie 

 entière : 



» En posant 



J(cos&)--^cos(p'&) — cos (//'■'&), 



