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 J(cos3'), retjardé comme fonction aUjcbrkjut de cosS, est divisible par p' pour 

 toute valeur réelle et entière attribuée à cosS. 



» La proposition précédente est une conséquence immédiate de ce théo- 

 rème, quand on met zcos5 — ^ et qu'on substitue, pour la congruence 



J(cos3-)^i;o [mod. p'], 



la congruence équivalente 



(iP'V-' _,) {iP'-p'-'-,)^o [mod.//]; 



de sorte que, a étant un nombre réel quelconque, il faut que l'un ou l'autre 

 des deux facteurs a'''"P'~* — i, a'''"*''''^' — x soit toujours divisible par p', 

 car, si les deux facteurs contenaient p^ on aurait a^'' — i divisible par/); 



c'est-à-dire, puisque ap' = 2 4- ( 2 _ \[p — \), a' — i serait divisible par 



p, et conséquemuient rt = rhi-f-X/>, auquel cas i/""* ^(±1) mod.p', 

 et les deux facteurs deviennent respectivement congrus à (± ,■)/"*/"-' — i, 

 c'est-à-dire tous les deux congrus à zéro par rapport à ce module, el par 

 conséquent tous les deux divisibles par /?' et congrus à zéro. Avec l'ex- 

 ception de ces valeurs de a, c'est toujours l'un des deux facteurs exclusi- 

 vement qui s'évanouit pour une valeur donnée de a. 



» 2° Je démontre, à l'aide du même théorème de forme trigonomé- 

 trique, mais eu faisant / =; i, que si un diviseur extérieur d'une fonction 

 cjclotomique, disons <i^ki est de la forme mk ± e, k étant son indice, la 

 congruence 



■\k^ o [mod. mk ± e] 



aura deux racines congrues l'une à l'autre, à moins que e = i . On prouve 

 facilement que cette équivalence est impossible avec l'aide du petit principe 



additionnel que, si i} est congru à zéro selon un module quelconque, '- sera 

 congru à zéro selon le même module. 



» Quant à la seconde classe des diviseurs, je démontre que, laissant à 

 part les fonctions cyclotomiques linéaires x + i , x, x — i appartenant aux 

 indices 3, 4) 6 et la fonction quadratique qui répond à l'indice 12, il n'y a 

 au plus qu un seul diviseur intérieur (un nombre premier); bien entendu, 

 la première puissance seulement de ce nombre. J'ai déjà dit que, pour 

 que// soit un diviseur extérieur, il faut et il suffit que p r= mk -+- £, k étant 

 l'indice et i= ± i . Or, pour que p soit diviseur intérieur de la fonction 



