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cyclolomique à l'indice A, je démontre qu'il faut et qu'il suffit que k soit 

 de la forme 



m ' 



» En général, il n'y a au />/»s qu'une seule manière de mettre un indice /t, 

 donné sous la forme qui met en évidence un diviseur intérieur; mais, quand 

 A^^ 12, on peut écrire m = 1 ,y = 2,/;= 9., £= — i ou bien m ^ 'i/— i> ^=3, 

 £= — 1; c'est pourquoi (['«a possède les trois diviseurs intérieurs 2, '3, 6. 

 En démontrant que la condition donnée plus haut pour quep soit diviseur 

 intérieur est nécessaire et que la première puissance seulement de p est un 

 diviseur de la fonction, je me sers du même théorème trigonométrique 

 qu'auparavant et en même temps de la seconde proposition sur les 

 facteurs extérieurs. Pour démontrer que cette condition est suffisante, j'ai 

 recours à un théorème purement algébrique, savoir, que si k = k, (nzA, ± i/, 

 /TzA-, ± I étant un nombre premier p, le résultant des deux équations tj/A^ o, 



(|(^=o est égal k p'' ' , en me servant en même temps d'un second petit 

 principe, qu'afin que deux congruences soient satisfaites simultanément par 

 rapport au même module, le résultant algébrique de ces congruences 

 transformées eu équations doit être congru à zéro par rapport au module. 

 » La fonction cyclotomique à l'indice 9, a;' — 3^ + i , m'a amené à faire 

 cette recherche; car j'avais grandement besoin de démontrer apodictique- 

 ment (ce que j'avais établi par des épreuves numériques sans fin) que les 

 diviseurs de cette fonction sont 3 et les nombres premiers de la forme 

 iSn±i exclusivement. C'est à l'aide de ce théorème que je démontre 

 qu'aucun nombre A de la forme 



Pl^ P'f^ P'Ph îi?!; 9/"/' 9P'T^ 9P>P'2y 9Pi({h 



où chaque p désigne un nombre premier de la forme i8« — 5 et chaque q 

 un nombre premier de la forme iSn-h 7, ne peut être décomposé en une 

 somme ou différence de deux cubes rationnels. En effet, je démontre 

 facilement que, si cette décomposition était possible, l'équation 



x^ — 3xj-'- + j-^ = 3 Ar.' 



serait résoluble en nombres entiers, ce qui est impossible, puisque^; ' — '5x-{- 1 

 ne contient aucun p ou q. La même équation, en mettant A — '5, devrait 

 avoir lieu aussi si 3 était décomposable en deux cubes rationnels; ainsi 

 on voit (comme on sait déjà) que cette décomposition est impossible, 

 puisque a;^— 3a; + i ne contient pas le diviseur intérieur 9. » 



