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 » Considérons l'équation différentielle 



où p et q sont des fonctions doublement périodiques (aux périodes 2K et 

 2zR') et dont nous supposerons l'intégrale générale uniforme; on admet 

 d'ailleurs que l'équation n'a que des intégrales régulières. 



)i Soity(j:) une intégrale quelconque de l'équation précédente; on aura 

 évidemment 



y(a- + 4R) =Ajix) +B/(x+2R), 



f{x -+- 4/K') = A'y(x j 4- B7(x + 2/K'), 



les A et les B étant des constantes. On pourra donc trouver au moins une 

 constante [x telle que l'expression 



Ç{JC) —j[x + 2i'v) + [l.j{x), 



se reproduise à un facteur constant près par le changement de j:: en x + 2K. 

 On aura évidemment 



(^{x + 4?K') —K:'j{x) -+- B'ç/(x+ 2iK'). ' 



» Par suite, on pourra trouver au moins une constante [î. telle que l'ex- 

 pression 



<^[x) — 9(._r + 2/K') + \>!^{x) 



se reproduise à un facteur constant prés par le changement de x en x + i iK'; 

 ^{x) est donc une fonction doublement périodique de seconde espèce; elle 

 est d'ailleurs une intégrale de l'équation, et nous arrivons alors à cette con- 

 clusion, qvie l'équation (1) admet nécessairement comme intégrale une fonc- 

 tion doublement périodique de seconde espèce. 



» 4'('^) étant une intégrale de l'équation précédente, une seconde inté- 

 grale sera 



)) Etudions la forme de cette fonction. L'intégrale générale de (i) étant 

 supposée uniforme, e"^'^'"" sera une fonction doublement périodique de se- 

 conde espèce, et, par suite, la fonction 



F(x) = --^Te'-'"'"'-'-' 



