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 sera une fonction de même nature. Or on a, sauf dans un cas particulier, 

 que je laisse de côté pour le moment, 



F(jr-) = -[A/(.r-n) -h . . . -h A^D''f{x - a)], 

 . ,, , H(.T -4- fi,\ ■. 



en posant/(j:) = -^^^-—e^'. 



» Ici tous les premiers coefficients A seront nuls, puisque l'intégrale 

 /F (x)^j? est supposée uniforme; celle-ci, etpar conséquent /, seront dès 

 lors des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, et, par suite, 

 l'intégrale générale de l'équation (i)est la somme de deux fonctions de cette 

 nature. 



» Si les multiplicateurs p. et p,' de F(^) peuvent être mis sous la forme 



F{x) subit dans son développement un changement de forme analytique, 

 et, comme l'a indiqué récemment M. Mittag-Leffler (Comptes renc^u5, séance 

 du 26 janvier 1880), on doit poser 



F(^) = rt„e'"+ I[Af{x - a) + A,D/(.r -«)+... + A^D''/(.r - a)], 

 oùf{x)^= - — ^e'^; on a d'ailleurs 



I(A + A.X-h ... + AaX»)c-'« = o. 



« Ici tous les premiers coefficients A doivent être nuls pour la même rai- 

 son que précédemment, et, en supposant d'abord 1 différent de zéro, on a 



h{x)dx = y e'-'- -t- 2 [A,/(a: - «) 4- . . . -f- A„D»-'/(.r - a)]. 



» Maisbn a alors 



2(A, -f- ...-l-Aa).'^-')p-^°=o, 



er,par suite,/F(a;)da;, du moins pour une valeur convenable delà constante 

 d'intégration, est encore une fonction de seconde espèce et la conclusion 

 précédente subsiste. Le seul cas d'exception est celui où X = o, c'est-à-dire 

 quand F (a;) est une fonction de première espèce ; on a alors A&ws J¥[x)dx 

 un terme en x^ car 



/' 



F(a.)rfa. = «,^+y [a.!^^! + ••• + A,D«-' 



H'(x — «1 



^ |_ ' H ;x — « ) "^ H ^ X — « ) 



» Les considérations précédentes montrent donc bien nettement, et dans 

 tous les cas possibles, la forme des intégrales de l'équation ( i ). » 



