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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries liypergéomélriqiies de deux variables, 

 et sur des équations différentielles linéaires aux dérivées partielles. Note de 

 M. AppELL, présentée par M. Bouquet. 



« I.Soitiun entier positif; je désigne le produit X (). -|- i) . . . (X -i- A- — i) 

 par (X, k) et je conviens que (X, o) = i . Je considère les quatre séries 



[ F, (a, i3, ^', y, ., y) ^ V (^^ '-' ;^ ^)(MO(P'.^) ,„^.,, 





{■) 



la sommation s'étendant aux valeurs entières de m et 7i de o à l'infini. Les 

 quatre fonctions ainsi définies satisfont respectivement aux équations dif- 

 férentielles suivantes, dans lesquelles les lettres p,q,r,s, t. désignent les 



dérivées partielles r-, r-» — » r ■, — • 



(.r~j:=)rH-_7-(i-a-)j+[7-(« + p-f-i)jr]/j -pj^-ajS r. = o, 

 (r-j2)^+.ï^(i-j)^+[V-:« + /3'+i);-]7-/3'x/j-ap'z==o; 

 (jf — j:=)r — irj5-+-[7— f a + p + i)x']/) - /Sj^ — a/3 z = o, 



(r -/■)<- ^r^ + [y- (« -I- /3'+ 1 )r Jv - /s'j^^/j - «/s'z =. <> ; 



(a; — X- J7-4- ji- -t- [7 — (a + /3 H- i)a;] p — a /3 z = o, 



(x — x^)r— /-i — 2xr^-f-[7 — (« + |5-)-i)^r]/j 



-(a + /3 + i)jr9r-a,Sc = o, 

 [T—J^)^ — J^-/' — 2x;)'.y-+-[7' — (a4-/3 + i)j](7 

 ( — (a4-/3 + i)x/j — apz = o. 



)> II. Considérons, d'une manière générale, des équations simultanées de 

 la forme 



(2) r = a^s -<r a.^p -^a^q -\~ a^z, t = h,s -h h„p + h^q -\- b^z. 



F, 



F. 



F, 



