( 297 ) 

 les a et les h étant des fonctions de :r et ^". Supposons qne la quantité 

 I — rt,6, ne soit pas nulle identiquement et que la condition d'intégrabi- 



liter-^r- = ^-^r- soit remplie identiquement, c est-a-dire quels que soient 



ce, /, z, p, q, S. Dans ces conditions, on peut démontrer la proposition sui- 

 vante : 



» Soit Xo, ^o un système de valeurs des variables x et y tel que, pour des 

 valeurs de ces variables voisines de .r„et j„,les coefficients des équations (2) 

 soient holomorphes, et que la quantité i — fi,b, ne soit pas nulle pour 

 cc = x„, j- = )-g; on pourra satisfaire aux équations (2) par une fonction 

 de j: et / holomorphe dans le voisinage des valeurs Xajjoi l<'s valeurs de 

 cette fonction et des trois dérivées p, q, s étant arbitraires pour x — x^, 



■» Ce théorème se déduit facilement d'un théorème sur les équations aux 

 différentielles totales démontré par M. Bouquet [Bulletin des Sciences mathé- 

 matiques, t. III, p. 265). Il suffit, pour cela, de prendre pour inconnues 

 auxiliaires p, ç, s et de former le système d'équations aux différentielles 

 totales auquel satisfont les fonctions z, p, q, s des variables x et y. Il ré- 

 sulte du théorème précédent que l'on peut appliquer aux équations diffé- 

 rentielles telles que (2) un certain nombre des propositions de M. Fuchs 

 sur les équations différentielles ordinaires. On peut encore remarquer que 

 ce théorème ne s'applique pas aux équations F, pour lesquelles la quantité 

 I — (iibf est nulle identiquement; mais il s'applique aux trois autres 

 groupes d'équations. 



» III. On peut, à l'aide des séries (i), former des polynômes de deux 

 variables possédant des propriétés analogues à celles des polynômes de 

 Jacobi. Je vais indiquer ici la propriété fondamentale des polynômes déduits 

 de la série Fj. Ajoutons membre à membre les équations Fj; nous avons 



^ \ +[7 - (a + (?+ i)a-]/j+ ['/ — (a+ 5 + i)jr]7 — «fîz = o, 



en faisant fi -h [-j' = à. Soient z une fonction quelconque satisfaisant à cette 

 équation unique (3), et z, une fonction satisfaisant à l'équation 



obtenue en changeant, dans (3), a en « — X et 5 en c? + X. Multiplions 

 l'équation (3) par z,, l'équation (4) par — z et ajoutons; nous obtenons 



