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 une équation que l'on peut écrire 



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^.r 



[^^ jv'-'(r - X — j)=<+^-ï-r(P - Px — Q;-)] 



en posant F =pz, — s/?,, Q= 92, — zq,. Supposons maintenant que les 

 deux fonctions z et z, soient des polynômes et que l'on ait 



7 > O' 7' > O' a + '"^ — 7 — 7' > "• 



Multiplions les deux membres de l'équation (5) par dxdj% et prenons l'in- 

 tégrale double étendue à l'aire du triangle formé par les droites ayant pour 

 équations x = o, j^=o, x+y— ï = o. Les intégrales du premier 

 membre sont nulles et, par suite, on a 



r [".r^'-' ji'-i ( , _ .r — rf+'^--<-'<'zz^ dxdj = o, 



à condition que 



(6) X(c?-« + X)>o. 



On voit que cette condition (6) exprime que les polynômes z et z, sont de 

 degrés différents, en remarquant que, si l'équation (3) est vérifiée par un 

 polynôme de degré k^ on a [ai + k)[â -\- A) = o. 



n On peut exprimer à l'aide de la fonction F, les polynômes que 

 M. Hermite a indiqués comme généralisation des polynômes de Legendre 

 et des polynômes cos(« arccosjc) (voir Comptes rendus, t. LX) et qui ont 

 été étudiés par Didon (t. V, VI, VII des annales de l'Ecole Normale). Il est 

 à remarquer aussi que l'équation bien connue à laquelle satisfait la fonc- 

 tion Y„ se ramène à la forme (3) ,par la substitution sin^cosy = yGt-, 



siiiO sin(p = V^"- 



» J'aurai prochainement l'honneur de présenter à l'Académie im Mé- 

 moire sur les théories précédentes, dont je n'ai Tait qu'indiquer les points 

 principaux et que l'on peut généraliser en augmentant le nombre des va- 

 riables ou l'ordre des équations différentielles. » 



