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ANALYSE MATHÉMATIQUK. — Sur les équations différentielles linéaires à coeffi- 

 cients doublement périodiques. Note de M. Mittag-Leffler, présentée par 

 M. Herraite. 



K Dans deux Notes qui ont été communiquées à l'Académie ('), M. Picard 

 a donné ce théorème remarquable : 



» Si 



est une équation différentielle linéaire à coefficients doublement périodiques 

 telle qu'il existe toujours une intégrale uniforme, alors l'équation admet en 

 général pour intégrale la somme de n fonctions doublement périodiques de 

 seconde espèce. 



» Il paraît pourtant que la méthode par laquelle M. Picard a obtenu 

 cette forme de l'intégrale dans le cas général ne suffit pas pour donner la 

 forme plus particulière dont l'intégrale est susceptible dans des cas spéciaux. 



» Je me propose dans cette Note de compléter le théorème de M. Picard 

 de la manière suivante. Je montre que l'équation différentielle linéaire à 

 coefficients doublement périodiques 



a toujours une intégrale j-= ^(oc) telle que 



tj/(a;-+ 2K) = fJM^(a7), 6{x+ 2iK') = V'^{cc). 



Cette proposition étant établie, et en supposant que l'intégrale j. -mJ;(j;) 

 est connue et que les coefficients de l'équation différentielle proposée 

 sont tels que les intégrales soient toujours des fonctions uniformes avec le 



seul point singulier essentiel x=-i on peut toujours et sans exception, 



par les méthodes connues, obtenir les 7i — i intégrales qui, réunies à ^{x), 

 forment un système fondamental. 



» Soif/(a;) une intégrale quelconque. Alors/(j; H- 2K), /(a; H- 4^-)? ••• 

 sont aussi des intégrales, et l'on a, par conséquent, 



f{jc -h 2mK) = k J {x) -^ .i.J{x -+- 2K) + . . .-h A^f[x -h 2{ni -- i)lv], 

 (') Comptes rendus, séances des 2i juillet 187901 19 janvier 1880. 



