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où l'on peut toujours supposer A, différent de zéro et in^n. Je fais, 

 d'après M. Picard, 



o[x)—f[x -h 2{in — i)R] + iJ.,f[a.- + 2{ni — 2)K] + . . .-i- fj.,,,., , f{x), 



et je choisis les constantes p.,, u.j, ..., |jl,„_, de telle manière, que les 

 équations 



. , A„,_, -4-0., A., + fx,„_, A, 



A,„ + M-, = —■■■— — — = fx 



soient satisfaites, ce qui est toujours possible. On a donc 



9(0; H- 2K.) = iJ.o{x). 



Mais la fonction f{x) est une intégrale de l'équation différentielle proposée 

 aussi bien que f{x), et l'on a, par conséquent, 



y (a; -f- 2m' iK') = A\ (f{x) -f- A'2 f{x-+- 2iK') + . . . + A'„ 9 [a; + 2 (m'— i)/K'J, 

 où, cotuiue plus haut, A'^o et in'^n. En écrivant 



<l'{x) = (f[x-h2{m'— [)iK']-i-v,f[x-h i[in'— 2)/R']+. .. + v„,'_, ^{x), 

 où les constantes v,, V2, . . ., v,„'_i sont telles qu'on a 



.- ^ A,'„._i-(-vi a', + v,„'_, A', 



on obtient 

 de même que 



«K^f + 2R) = p. '^[x). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la loi de réciprocité de Legendre étendue 

 aux nombres non premiers; par M. A. Genocchi. (Extrait d'une Lettre 

 adressée à M. Hermite.) 



« Dans un Mémoire Sur la théorie des résidus quadratiques présenté à 

 l'Académie royale de Belgique (séance du 6 novembre i852), j'ai donné 

 une démonstration élémentaire et très simple de la loi de réciprocité de 

 Legendre. Elle se fondait sur un lemme connu de Gauss et sur le théo- 

 rème d'Arithmétique suivant : 



» Soient m et 11 deux nombres impairs premiers entre eux. Faisons 



1)1 — 1 ri — I mil — I 



p — 5 q — ) /' = ) 



?. '.*. 1 



H = /i/i — mk, V =: nh -+- nik — /•, 



