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 soit h un nombre entier inférieur à -» et donnons à k successivement toutes les 



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valeurs 1,2, . . ., q. Ayant divisé rih par /?, soit h' le reste positif : le nombre 

 des valeurs positives de i> sera égal à celui des valeurs positives de n si le r^ste h' 

 est inférieur à ^ni el le surpassera d'une unité dans le cas contraire. 



» J'avais rencontré un tliéorème plus général en exposant sous diffé- 

 rentes formes la démonstration si remarquable de la loi de réciprocité, 

 publiée par M. Liouville en 18/(7, et j'ai ensuite démontré, d'une manière 

 directe, cet énoncé particulier. 



D Or le lemme de Gauss a été généralisé comme il suit par M. Scliering : 

 « Soient A ef P deux nombres entiers et P premier à 2 A ; si l'on divise par P 

 les produits 



lA, 2A, 3A, ..., -^A, 



en prenant les restes les plus petits en valeur absolue, el qu'on appelle p. le 

 nombre des restes négatifs, on aura 



(!)=(-)'. 



suivant la notation de Legendre généralisée par Jacobi. 



n Au moyen de ce nouveau lemme, nous allons démontrer la loi de 

 réciprocité étendue à deux nombres impairs, même composés, qui soient 

 premiers entre eux. 



» Retenons, en effet , les dénominations de notre énoncé, et, de plus, soient 

 / le nombre total des valeurs positives de u, g le nombre total des valeurs 

 positives de v, en supposant que h aussi prenne successivement toutes les 

 valeurs i, 2, ...,p. Divisons les multiples nh par m et les multiples mk 

 par n, prenons les restes les plus petits en valeur absolue, et nommons n, 

 le nombre des restes négatifs pour les multiples nh, et m, le nombre des 

 restes négatifs pour les multiples mk. On aura, d'après notre théorème, 



et de même, en posant u'=ink — nh, et nommant^' le nombre des valeurs 

 positives de m', on aura 



et par suite 



2g -/-/'='«. + ". • 



Mais les valeurs positives de u' sont les négatives de u, en sorte que/+/' 



G. R., 1880, 1" Semestre. (T. XC, N» 7.) ^^ 



