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est le nombre total des valeurs de u, savoir pq. On a donc 



/H,4-?/, = 2g-/;<7, d'où (_,)'V",= (-i)P7, 

 et, comme le lerame de M. Schering donne 



on trouve la loi dont il s'agit : 



» M. Kummer, en iSSg, et M. Kronecker, en 1875, ont remarqué que 

 la loi de réciprocité pour les résidus quadratiques avait été découverte par 

 Euler. Les premières tentatives poiu- la démontrer sont dues àLegendre; 

 mais la première démonstration rigoureuse et complète a été donnée par 

 Gauss qui, après avoir trouvé le théorème par une simple induction, en 

 1795, a employé une année tout entière à chercher sa démonstration. 

 Des démonstrations plus simples ont été trouvées depuis par Gauss et par 

 d'autres, mais on ne saurait assurer qu'il pouvait être facile de découvrir 

 ces démonstrations, car elles s'appuient sur le lemme de Gauss dont nous 

 avons fait mention, et ce lemme a été démontré par Gauss dans l'hiver 

 1806-1807, comme nous l'apprend sa Lettre à Sophie Germain, publiée 

 par M. le prince Boncompagni; d'ailleurs, on ne sait si les autres auteurs 

 auraient pu par eux-mêmes parvenir à ce lemme ou s'en dispenser. Dans 

 une Lettre à Olbers, de septembre i8o5, Gauss s'entretient d'une autre 

 proposition qu'il connaissait depuis quatre années sur une simple induc- 

 tion, mais dont la démonstration l'a tourmenté pendant un si long espace 

 de temps, que pas une semaine ne s'écoulait sans qu'il s'en occupât. 

 Après quatre années d'efforts, il parvint à une démonstration, et toutefois 

 cette proposition découle d'une manière fort simple de formules connues 

 sur les séries trigonométriques, comme je l'ai montré dans mon Mémoire 

 ci-dessus rappelé. Ainsi, rien n'est plus certain qu'un fait plusieurs fois 

 affirmé par Euler et par Gauss, savoir que, surtout dans la théorie des 

 nombres, l'induction amène la découverte de vérités dont la démonstra- 

 tion est très difficile et pour longtemps élude tous les efforts, et que les 

 méthodes les plus simples sont ordinairement les dernières à se présenter. 

 Euler a même publié sur ce sujet un Mémoire étendu dont le titre est : 

 Spécimen de iisu observationum in Mathesi pwa. » 



