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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur rimpossibililc (le la relation algébrique 

 X" + Y" + Z" = o; par M, A. Korkine. (Extrait d'une Lettre adressée à 

 M. Hermite.) 



« Dans le numéro du 29 décembre 1879 (\e?, Comptes rendus, M. R. 

 Liouville a donné une démonstration de l'impossibilité de satisfaire à 

 l'équation 



(i) X"H-Y"4-Z" = o 



par des polynômes X, Y, Z, que je modifie en la présentant comme il 

 suit. 



» Lorsqu'il est possible de satisfaire à l'équation (i), au moyen de trois 

 fonctions entières de t dont aucune ne se réduit à zéro, on peut toujours 

 supposer que ces fonctions, prises deux à deux, n'ont pas de facteurs com- 

 muns. Soit Z celui des trois polynômes dont le degré m n'est pas inférieur 

 à ceux des deux autres. On voit alors facilement que le degré de l'un au 

 moins des polynômes X et Y est aussi égal à m. 



» Soit Y ce polynôme de degré m, X sera de degré m — ),, >. étant un 

 entier positif ou nul. 



» En différentiant, par rapport à ^, l'équation 



' Y \ « / Z ' 



on obtient 



Y"-' (XY' - YX') = Z"-' (ZX' - XZ')." 



» Il résulte de cette équation, Y et Z n'ayant pas de facteurs communs, 

 que les expressions 



XY— YX' ZX'— XZ' 



sont égales à une fonction entière ou au moins à une constante différente 

 de zéro. 



» Or, comme les degrés des numérateurs ne surpassent pas 2 wz — X — i , 

 ceux des dénominateurs étant m{n — i), W suit que la différence 



2 m — ). — I — in{n — i) 



est nulle ou positive, c'est-à-dire qu'on a 



77î(3 — n)^ ). -I- I, 

 et par conséquent n < 3. 



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