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 » Il se trouve ainsi démontré que le cas connu de résolubilité, celui 

 où n = 2, est unique, si l'on fait abstraction du cas de « = i , où la solu- 

 tion est évidente. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur i approximation des fondions circulaires au 

 moyen de fonctions algébriques. Note de M. Laguerre, présentée par 

 M. Hermite. 



« 1 . Les équations dont toutes les racines sont réelles constituent à bien 

 des égard?, dans l'ensemble des équations algébriques, une classe particu- 

 lièrement importante, et les problèmes qui s'y rattachent sont souvent 

 susceptibles de solutions simples auxquelles échappent les cas pUis gé- 

 néraux. 



» Je rappellerai, par exemple, comment le théorème de Fourier suffit, 

 dans ce cas, pour déterminer le nombre des racines comprises entre deux 

 nombres donnés. Des faits analogues se présentent dans la recherche de 

 la valeur approchée dfs racines, el je mentionnerai notamment la propo- 

 sition suivante : 



)) En désignant par J [x) = o une équation dont toutes les racines sont réelles 

 et par a une quantité arbitraire, les deux valeurs de x déterminées par /'e- 

 quation 



sont respectivement comprises entre a el les deux racines de l'équation proposée 

 qui avoisinent a. 



» La quantité qui figure ici sous le radical est, à un facteur numérique 

 près, le hessien du polynôme /(a") et a, comme on lésait, une valeur 

 toujours positive. 



1) De là résulte, pour les racines des équations qui jouissent de la pro- 

 priété indiquée, une méthode d'approximation spéciale qui permet, avec 

 toute sûreté et sans discussion préalable, d'approcher indéfiniment de la 

 racine immédiatement supérieure ou immédiatement inférieure à un 

 nombre donné. L'approximation est notamment plus grande que celle 

 fournie par la méthode de Newton, surtout quand les racines sont res- 

 serrées dans un intervalle assez étroit. 



» 2. Parmi les équations qui ont toutes leurs racines réelles, il convient 

 même de distinguer celles dont le premier membre est un polynôme satis- 



